Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6655 / 6657
↖ ↑ ↗
← S 74.031637°
E112.456055°		 ← 1 344.31 m → S 74.031637°
E112.500000°		 →
↑
1 343.84 m
↓
↑
1 343.84 m
↓
S 74.043723°
E112.456055°		 ← 1 343.32 m →
1 805 860 m²		 S 74.043723°
E112.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81243896484375 y=0.81268310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81243896484375 × 213)
    floor (0.81243896484375 × 8192)
    floor (6655.5)     		tx = 6655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.81268310546875 × 213)
    floor (0.81268310546875 × 8192)
    floor (6657.5)     		ty = 6657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6655 / 6657 ti = "13/6655/6657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6655/6657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6655 ÷ 213
    6655 ÷ 8192     		x = 0.8123779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6657 ÷ 213
    6657 ÷ 8192     		y = 0.8126220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8123779296875 × 2 - 1) × π
    0.624755859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.96272842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8126220703125 × 2 - 1) × π
    -0.625244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.96426239883142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96272842} λ = 1.96272842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.96426239883142))-π/2
    2×atan(0.140259303897232)-π/2
    2×0.139350251662078-π/2
    0.278700503324156-1.57079632675     		φ = -1.29209582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96272842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.456055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.29209582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -74.031637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6655 KachelY 6657 1.96272842 -1.29209582 112.456055 -74.031637
    Oben rechts KachelX + 1 6656 KachelY 6657 1.96349541 -1.29209582 112.500000 -74.031637
    Unten links KachelX 6655 KachelY + 1 6658 1.96272842 -1.29230675 112.456055 -74.043723
    Unten rechts KachelX + 1 6656 KachelY + 1 6658 1.96349541 -1.29230675 112.500000 -74.043723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.29209582--1.29230675) × R
    0.000210930000000165 × 6371000     		dl = 1343.83503000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.29209582--1.29230675) × R
    0.000210930000000165 × 6371000     		dr = 1343.83503000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96272842-1.96349541) × cos(-1.29209582) × R
    0.000766990000000023 × 0.275106530565343 × 6371000     		do = 1344.30621564277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96272842-1.96349541) × cos(-1.29230675) × R
    0.000766990000000023 × 0.274903733444816 × 6371000     		du = 1343.31524887408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.29209582)-sin(-1.29230675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275106530565343-0.274903733444816)×R²
    abs(1.96349541-1.96272842)×0.000202797120527343×R²
    0.000766990000000023×0.000202797120527343×6371000²
    0.000766990000000023×0.000202797120527343×40589641000000     		ar = 1805859.94239261m²