Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66564 / 64516
↖ ↑ ↗
← N  2.800398°
E  2.823486°		 ← 305.06 m → N  2.800398°
E  2.826233°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
N  2.797655°
E  2.823486°		 ← 305.06 m →
93 057 m²		 N  2.797655°
E  2.826233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507846832275391 y=0.492221832275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507846832275391 × 217)
    floor (0.507846832275391 × 131072)
    floor (66564.5)     		tx = 66564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492221832275391 × 217)
    floor (0.492221832275391 × 131072)
    floor (64516.5)     		ty = 64516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66564 / 64516 ti = "17/66564/64516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66564/64516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66564 ÷ 217
    66564 ÷ 131072     		x = 0.507843017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64516 ÷ 217
    64516 ÷ 131072     		y = 0.492218017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507843017578125 × 2 - 1) × π
    0.01568603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04927913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492218017578125 × 2 - 1) × π
    0.01556396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0488956376124573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04927913} λ = 0.04927913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0488956376124573))-π/2
    2×atan(1.05011075295582)-π/2
    2×0.809836246448998-π/2
    1.619672492898-1.57079632675     		φ = 0.04887617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04927913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.823486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04887617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.800398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66564 KachelY 64516 0.04927913 0.04887617 2.823486 2.800398
    Oben rechts KachelX + 1 66565 KachelY 64516 0.04932707 0.04887617 2.826233 2.800398
    Unten links KachelX 66564 KachelY + 1 64517 0.04927913 0.04882829 2.823486 2.797655
    Unten rechts KachelX + 1 66565 KachelY + 1 64517 0.04932707 0.04882829 2.826233 2.797655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04887617-0.04882829) × R
    4.78799999999932e-05 × 6371000     		dl = 305.043479999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04887617-0.04882829) × R
    4.78799999999932e-05 × 6371000     		dr = 305.043479999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04927913-0.04932707) × cos(0.04887617) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998805797765283 × 6371000     		do = 305.060999898773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04927913-0.04932707) × cos(0.04882829) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998808135879795 × 6371000     		du = 305.061714019128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04887617)-sin(0.04882829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998805797765283-0.998808135879795)×R²
    abs(0.04932707-0.04927913)×2.3381145124457e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.3381145124457e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.3381145124457e-06×40589641000000     		ar = 93056.9779580486m²