Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6657 / 513
↖ ↑ ↗
← N 82.670681°
E112.543945°		 ← 623.38 m → N 82.670681°
E112.587891°		 →
↑
623.66 m
↓
↑
623.66 m
↓
N 82.665072°
E112.543945°		 ← 623.85 m →
388 924 m²		 N 82.665072°
E112.587891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81268310546875 y=0.06268310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81268310546875 × 213)
    floor (0.81268310546875 × 8192)
    floor (6657.5)     		tx = 6657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06268310546875 × 213)
    floor (0.06268310546875 × 8192)
    floor (513.5)     		ty = 513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6657 / 513 ti = "13/6657/513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6657/513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6657 ÷ 213
    6657 ÷ 8192     		x = 0.8126220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 513 ÷ 213
    513 ÷ 8192     		y = 0.0626220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8126220703125 × 2 - 1) × π
    0.625244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.96426240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0626220703125 × 2 - 1) × π
    0.874755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.74812658141858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96426240} λ = 1.96426240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74812658141858))-π/2
    2×atan(15.6133541202705)-π/2
    2×1.50683595178083-π/2
    3.01367190356167-1.57079632675     		φ = 1.44287558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96426240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.543945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44287558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.670681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6657 KachelY 513 1.96426240 1.44287558 112.543945 82.670681
    Oben rechts KachelX + 1 6658 KachelY 513 1.96502939 1.44287558 112.587891 82.670681
    Unten links KachelX 6657 KachelY + 1 514 1.96426240 1.44277769 112.543945 82.665072
    Unten rechts KachelX + 1 6658 KachelY + 1 514 1.96502939 1.44277769 112.587891 82.665072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44287558-1.44277769) × R
    9.78899999999339e-05 × 6371000     		dl = 623.657189999579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44287558-1.44277769) × R
    9.78899999999339e-05 × 6371000     		dr = 623.657189999579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96426240-1.96502939) × cos(1.44287558) × R
    0.000766990000000023 × 0.127572155636544 × 6371000     		do = 623.380482508827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96426240-1.96502939) × cos(1.44277769) × R
    0.000766990000000023 × 0.127669245194587 × 6371000     		du = 623.854909982734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44287558)-sin(1.44277769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127572155636544-0.127669245194587)×R²
    abs(1.96502939-1.96426240)×9.70895580431619e-05×R²
    0.000766990000000023×9.70895580431619e-05×6371000²
    0.000766990000000023×9.70895580431619e-05×40589641000000     		ar = 388923.660384703m²