Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66578 / 66578
↖ ↑ ↗
← S  2.860749°
E  2.861939°		 ← 305.05 m → S  2.860749°
E  2.864685°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
S  2.863492°
E  2.861939°		 ← 305.04 m →
93 052 m²		 S  2.863492°
E  2.864685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507953643798828 y=0.507953643798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507953643798828 × 217)
    floor (0.507953643798828 × 131072)
    floor (66578.5)     		tx = 66578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507953643798828 × 217)
    floor (0.507953643798828 × 131072)
    floor (66578.5)     		ty = 66578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66578 / 66578 ti = "17/66578/66578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66578/66578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66578 ÷ 217
    66578 ÷ 131072     		x = 0.507949829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66578 ÷ 217
    66578 ÷ 131072     		y = 0.507949829101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507949829101562 × 2 - 1) × π
    0.015899658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.04995025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507949829101562 × 2 - 1) × π
    -0.015899658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0499502494040985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04995025} λ = 0.04995025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0499502494040985))-π/2
    2×atan(0.951276749908646)-π/2
    2×0.760433417825472-π/2
    1.52086683565094-1.57079632675     		φ = -0.04992949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04995025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.861939°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04992949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.860749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66578 KachelY 66578 0.04995025 -0.04992949 2.861939 -2.860749
    Oben rechts KachelX + 1 66579 KachelY 66578 0.04999819 -0.04992949 2.864685 -2.860749
    Unten links KachelX 66578 KachelY + 1 66579 0.04995025 -0.04997737 2.861939 -2.863492
    Unten rechts KachelX + 1 66579 KachelY + 1 66579 0.04999819 -0.04997737 2.864685 -2.863492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04992949--0.04997737) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04992949--0.04997737) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04995025-0.04999819) × cos(-0.04992949) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998753781943465 × 6371000     		do = 305.045112927858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04995025-0.04999819) × cos(-0.04997737) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998751391167828 × 6371000     		du = 305.04438272344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04992949)-sin(-0.04997737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998753781943465-0.998751391167828)×R²
    abs(0.04999819-0.04995025)×2.39077563690682e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.39077563690682e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39077563690682e-06×40589641000000     		ar = 93051.9114502411m²