Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6658 / 10755
↖ ↑ ↗
← S 48.965794°
W 33.706055°		 ← 1 603.99 m → S 48.965794°
W 33.684082°		 →
↑
1 603.77 m
↓
↑
1 603.77 m
↓
S 48.980217°
W 33.706055°		 ← 1 603.53 m →
2 572 068 m²		 S 48.980217°
W 33.684082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406402587890625 y=0.656463623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406402587890625 × 214)
    floor (0.406402587890625 × 16384)
    floor (6658.5)     		tx = 6658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656463623046875 × 214)
    floor (0.656463623046875 × 16384)
    floor (10755.5)     		ty = 10755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6658 / 10755 ti = "14/6658/10755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6658/10755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6658 ÷ 214
    6658 ÷ 16384     		x = 0.4063720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10755 ÷ 214
    10755 ÷ 16384     		y = 0.65643310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4063720703125 × 2 - 1) × π
    -0.187255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58828163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65643310546875 × 2 - 1) × π
    -0.3128662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.982898189809631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58828163} λ = -0.58828163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.982898189809631))-π/2
    2×atan(0.374224950741218)-π/2
    2×0.358091001947855-π/2
    0.716182003895711-1.57079632675     		φ = -0.85461432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58828163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.706055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85461432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.965794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6658 KachelY 10755 -0.58828163 -0.85461432 -33.706055 -48.965794
    Oben rechts KachelX + 1 6659 KachelY 10755 -0.58789814 -0.85461432 -33.684082 -48.965794
    Unten links KachelX 6658 KachelY + 1 10756 -0.58828163 -0.85486605 -33.706055 -48.980217
    Unten rechts KachelX + 1 6659 KachelY + 1 10756 -0.58789814 -0.85486605 -33.684082 -48.980217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85461432--0.85486605) × R
    0.000251730000000006 × 6371000     		dl = 1603.77183000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85461432--0.85486605) × R
    0.000251730000000006 × 6371000     		dr = 1603.77183000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58828163--0.58789814) × cos(-0.85461432) × R
    0.000383490000000042 × 0.656509483836576 × 6371000     		do = 1603.99368068496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58828163--0.58789814) × cos(-0.85486605) × R
    0.000383490000000042 × 0.65631957862558 × 6371000     		du = 1603.52970146476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85461432)-sin(-0.85486605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656509483836576-0.65631957862558)×R²
    abs(-0.58789814--0.58828163)×0.000189905210996377×R²
    0.000383490000000042×0.000189905210996377×6371000²
    0.000383490000000042×0.000189905210996377×40589641000000     		ar = 2572067.83576087m²