Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6658 / 11778
↖ ↑ ↗
← S 61.627287°
W 33.706055°		 ← 1 161.03 m → S 61.627287°
W 33.684082°		 →
↑
1 160.86 m
↓
↑
1 160.86 m
↓
S 61.637726°
W 33.706055°		 ← 1 160.64 m →
1 347 564 m²		 S 61.637726°
W 33.684082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406402587890625 y=0.718902587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406402587890625 × 214)
    floor (0.406402587890625 × 16384)
    floor (6658.5)     		tx = 6658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718902587890625 × 214)
    floor (0.718902587890625 × 16384)
    floor (11778.5)     		ty = 11778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6658 / 11778 ti = "14/6658/11778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6658/11778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6658 ÷ 214
    6658 ÷ 16384     		x = 0.4063720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11778 ÷ 214
    11778 ÷ 16384     		y = 0.7188720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4063720703125 × 2 - 1) × π
    -0.187255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58828163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7188720703125 × 2 - 1) × π
    -0.437744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.37521377630017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58828163} λ = -0.58828163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37521377630017))-π/2
    2×atan(0.25278555046843)-π/2
    2×0.247598634495558-π/2
    0.495197268991117-1.57079632675     		φ = -1.07559906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58828163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.706055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07559906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.627287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6658 KachelY 11778 -0.58828163 -1.07559906 -33.706055 -61.627287
    Oben rechts KachelX + 1 6659 KachelY 11778 -0.58789814 -1.07559906 -33.684082 -61.627287
    Unten links KachelX 6658 KachelY + 1 11779 -0.58828163 -1.07578127 -33.706055 -61.637726
    Unten rechts KachelX + 1 6659 KachelY + 1 11779 -0.58789814 -1.07578127 -33.684082 -61.637726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07559906--1.07578127) × R
    0.00018220999999996 × 6371000     		dl = 1160.85990999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07559906--1.07578127) × R
    0.00018220999999996 × 6371000     		dr = 1160.85990999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58828163--0.58789814) × cos(-1.07559906) × R
    0.000383490000000042 × 0.475205230634088 × 6371000     		do = 1161.02844777069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58828163--0.58789814) × cos(-1.07578127) × R
    0.000383490000000042 × 0.475044900725483 × 6371000     		du = 1160.63672736671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07559906)-sin(-1.07578127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475205230634088-0.475044900725483)×R²
    abs(-0.58789814--0.58828163)×0.000160329908604817×R²
    0.000383490000000042×0.000160329908604817×6371000²
    0.000383490000000042×0.000160329908604817×40589641000000     		ar = 1347564.0168597m²