Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66580 / 66580
↖ ↑ ↗
← S  2.866236°
E  2.867431°		 ← 305.04 m → S  2.866236°
E  2.870178°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
S  2.868978°
E  2.867431°		 ← 305.04 m →
93 032 m²		 S  2.868978°
E  2.870178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507968902587891 y=0.507968902587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507968902587891 × 217)
    floor (0.507968902587891 × 131072)
    floor (66580.5)     		tx = 66580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507968902587891 × 217)
    floor (0.507968902587891 × 131072)
    floor (66580.5)     		ty = 66580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66580 / 66580 ti = "17/66580/66580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66580/66580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66580 ÷ 217
    66580 ÷ 131072     		x = 0.507965087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66580 ÷ 217
    66580 ÷ 131072     		y = 0.507965087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507965087890625 × 2 - 1) × π
    0.01593017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05004612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507965087890625 × 2 - 1) × π
    -0.01593017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0500461232033386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05004612} λ = 0.05004612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0500461232033386))-π/2
    2×atan(0.951185551764329)-π/2
    2×0.760385540780302-π/2
    1.5207710815606-1.57079632675     		φ = -0.05002525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05004612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.867431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05002525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.866236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66580 KachelY 66580 0.05004612 -0.05002525 2.867431 -2.866236
    Oben rechts KachelX + 1 66581 KachelY 66580 0.05009406 -0.05002525 2.870178 -2.866236
    Unten links KachelX 66580 KachelY + 1 66581 0.05004612 -0.05007312 2.867431 -2.868978
    Unten rechts KachelX + 1 66581 KachelY + 1 66581 0.05009406 -0.05007312 2.870178 -2.868978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05002525--0.05007312) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05002525--0.05007312) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05004612-0.05009406) × cos(-0.05002525) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998748998102559 × 6371000     		do = 305.043651819754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05004612-0.05009406) × cos(-0.05007312) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998746603248186 × 6371000     		du = 305.042920369584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05002525)-sin(-0.05007312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998748998102559-0.998746603248186)×R²
    abs(0.05009406-0.05004612)×2.39485437336651e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.39485437336651e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.39485437336651e-06×40589641000000     		ar = 93032.0312509507m²