Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6660 / 10756
↖ ↑ ↗
← S 48.980217°
W 33.662109°		 ← 1 603.53 m → S 48.980217°
W 33.640137°		 →
↑
1 603.33 m
↓
↑
1 603.33 m
↓
S 48.994636°
W 33.662109°		 ← 1 603.07 m →
2 570 609 m²		 S 48.994636°
W 33.640137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406524658203125 y=0.656524658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406524658203125 × 214)
    floor (0.406524658203125 × 16384)
    floor (6660.5)     		tx = 6660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656524658203125 × 214)
    floor (0.656524658203125 × 16384)
    floor (10756.5)     		ty = 10756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6660 / 10756 ti = "14/6660/10756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6660/10756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6660 ÷ 214
    6660 ÷ 16384     		x = 0.406494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10756 ÷ 214
    10756 ÷ 16384     		y = 0.656494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406494140625 × 2 - 1) × π
    -0.18701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58751464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656494140625 × 2 - 1) × π
    -0.31298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.983281685006592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58751464} λ = -0.58751464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.983281685006592))-π/2
    2×atan(0.374081464784872)-π/2
    2×0.357965136038648-π/2
    0.715930272077297-1.57079632675     		φ = -0.85486605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58751464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.662109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85486605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.980217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6660 KachelY 10756 -0.58751464 -0.85486605 -33.662109 -48.980217
    Oben rechts KachelX + 1 6661 KachelY 10756 -0.58713115 -0.85486605 -33.640137 -48.980217
    Unten links KachelX 6660 KachelY + 1 10757 -0.58751464 -0.85511771 -33.662109 -48.994636
    Unten rechts KachelX + 1 6661 KachelY + 1 10757 -0.58713115 -0.85511771 -33.640137 -48.994636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85486605--0.85511771) × R
    0.000251659999999987 × 6371000     		dl = 1603.32585999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85486605--0.85511771) × R
    0.000251659999999987 × 6371000     		dr = 1603.32585999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58751464--0.58713115) × cos(-0.85486605) × R
    0.000383489999999931 × 0.65631957862558 × 6371000     		do = 1603.52970146429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58751464--0.58713115) × cos(-0.85511771) × R
    0.000383489999999931 × 0.656129684650302 × 6371000     		du = 1603.06574969536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85486605)-sin(-0.85511771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65631957862558-0.656129684650302)×R²
    abs(-0.58713115--0.58751464)×0.000189893975278244×R²
    0.000383489999999931×0.000189893975278244×6371000²
    0.000383489999999931×0.000189893975278244×40589641000000     		ar = 2570608.7182679m²