Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6660 / 2564
↖ ↑ ↗
← N 55.677585°
E112.675781°		 ← 2 755.25 m → N 55.677585°
E112.719727°		 →
↑
2 756.16 m
↓
↑
2 756.16 m
↓
N 55.652798°
E112.675781°		 ← 2 756.99 m →
7 596 298 m²		 N 55.652798°
E112.719727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81304931640625 y=0.31304931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81304931640625 × 213)
    floor (0.81304931640625 × 8192)
    floor (6660.5)     		tx = 6660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31304931640625 × 213)
    floor (0.31304931640625 × 8192)
    floor (2564.5)     		ty = 2564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6660 / 2564 ti = "13/6660/2564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6660/2564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6660 ÷ 213
    6660 ÷ 8192     		x = 0.81298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2564 ÷ 213
    2564 ÷ 8192     		y = 0.31298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81298828125 × 2 - 1) × π
    0.6259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.96656337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31298828125 × 2 - 1) × π
    0.3740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17502928348682
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96656337} λ = 1.96656337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17502928348682))-π/2
    2×atan(3.23823776934257)-π/2
    2×1.27127674715327-π/2
    2.54255349430654-1.57079632675     		φ = 0.97175717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96656337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97175717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.677585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6660 KachelY 2564 1.96656337 0.97175717 112.675781 55.677585
    Oben rechts KachelX + 1 6661 KachelY 2564 1.96733036 0.97175717 112.719727 55.677585
    Unten links KachelX 6660 KachelY + 1 2565 1.96656337 0.97132456 112.675781 55.652798
    Unten rechts KachelX + 1 6661 KachelY + 1 2565 1.96733036 0.97132456 112.719727 55.652798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97175717-0.97132456) × R
    0.000432609999999944 × 6371000     		dl = 2756.15830999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97175717-0.97132456) × R
    0.000432609999999944 × 6371000     		dr = 2756.15830999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96656337-1.96733036) × cos(0.97175717) × R
    0.000766990000000023 × 0.563849194755044 × 6371000     		do = 2755.24530674251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96656337-1.96733036) × cos(0.97132456) × R
    0.000766990000000023 × 0.564206424961978 × 6371000     		du = 2756.99090975167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97175717)-sin(0.97132456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563849194755044-0.564206424961978)×R²
    abs(1.96733036-1.96656337)×0.00035723020693379×R²
    0.000766990000000023×0.00035723020693379×6371000²
    0.000766990000000023×0.00035723020693379×40589641000000     		ar = 7596297.94585687m²