Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6661 / 10757
↖ ↑ ↗
← S 48.994636°
W 33.640137°		 ← 1 603.11 m → S 48.994636°
W 33.618164°		 →
↑
1 602.88 m
↓
↑
1 602.88 m
↓
S 49.009051°
W 33.640137°		 ← 1 602.64 m →
2 569 217 m²		 S 49.009051°
W 33.618164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406585693359375 y=0.656585693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406585693359375 × 214)
    floor (0.406585693359375 × 16384)
    floor (6661.5)     		tx = 6661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656585693359375 × 214)
    floor (0.656585693359375 × 16384)
    floor (10757.5)     		ty = 10757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6661 / 10757 ti = "14/6661/10757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6661/10757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6661 ÷ 214
    6661 ÷ 16384     		x = 0.40655517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10757 ÷ 214
    10757 ÷ 16384     		y = 0.65655517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40655517578125 × 2 - 1) × π
    -0.1868896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58713115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65655517578125 × 2 - 1) × π
    -0.3131103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.983665180203552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58713115} λ = -0.58713115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.983665180203552))-π/2
    2×atan(0.373938033844151)-π/2
    2×0.357839306542292-π/2
    0.715678613084584-1.57079632675     		φ = -0.85511771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58713115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.640137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85511771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.994636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6661 KachelY 10757 -0.58713115 -0.85511771 -33.640137 -48.994636
    Oben rechts KachelX + 1 6662 KachelY 10757 -0.58674765 -0.85511771 -33.618164 -48.994636
    Unten links KachelX 6661 KachelY + 1 10758 -0.58713115 -0.85536930 -33.640137 -49.009051
    Unten rechts KachelX + 1 6662 KachelY + 1 10758 -0.58674765 -0.85536930 -33.618164 -49.009051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85511771--0.85536930) × R
    0.000251589999999968 × 6371000     		dl = 1602.8798899998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85511771--0.85536930) × R
    0.000251589999999968 × 6371000     		dr = 1602.8798899998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58713115--0.58674765) × cos(-0.85511771) × R
    0.000383500000000092 × 0.656129684650302 × 6371000     		do = 1603.10755171825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58713115--0.58674765) × cos(-0.85536930) × R
    0.000383500000000092 × 0.655939801957449 × 6371000     		du = 1602.64361541728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85511771)-sin(-0.85536930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656129684650302-0.655939801957449)×R²
    abs(-0.58674765--0.58713115)×0.000189882692852805×R²
    0.000383500000000092×0.000189882692852805×6371000²
    0.000383500000000092×0.000189882692852805×40589641000000     		ar = 2569217.05262564m²