Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66623 / 66625
↖ ↑ ↗
← S  2.989670°
E  2.985535°		 ← 305.01 m → S  2.989670°
E  2.988281°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
S  2.992413°
E  2.985535°		 ← 305.01 m →
93 022 m²		 S  2.992413°
E  2.988281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508296966552734 y=0.508312225341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508296966552734 × 217)
    floor (0.508296966552734 × 131072)
    floor (66623.5)     		tx = 66623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508312225341797 × 217)
    floor (0.508312225341797 × 131072)
    floor (66625.5)     		ty = 66625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66623 / 66625 ti = "17/66623/66625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66623/66625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66623 ÷ 217
    66623 ÷ 131072     		x = 0.508293151855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66625 ÷ 217
    66625 ÷ 131072     		y = 0.508308410644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508293151855469 × 2 - 1) × π
    0.0165863037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05210741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508308410644531 × 2 - 1) × π
    -0.0166168212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0522032836862412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05210741} λ = 0.05210741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0522032836862412))-π/2
    2×atan(0.949135903385209)-π/2
    2×0.759308368774778-π/2
    1.51861673754956-1.57079632675     		φ = -0.05217959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05210741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.985535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05217959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.989670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66623 KachelY 66625 0.05210741 -0.05217959 2.985535 -2.989670
    Oben rechts KachelX + 1 66624 KachelY 66625 0.05215535 -0.05217959 2.988281 -2.989670
    Unten links KachelX 66623 KachelY + 1 66626 0.05210741 -0.05222746 2.985535 -2.992413
    Unten rechts KachelX + 1 66624 KachelY + 1 66626 0.05215535 -0.05222746 2.988281 -2.992413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05217959--0.05222746) × R
    4.78700000000054e-05 × 6371000     		dl = 304.979770000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05217959--0.05222746) × R
    4.78700000000054e-05 × 6371000     		dr = 304.979770000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05210741-0.05215535) × cos(-0.05217959) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998638954046836 × 6371000     		do = 305.010041532602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05210741-0.05215535) × cos(-0.05222746) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998636456198981 × 6371000     		du = 305.009278625572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05217959)-sin(-0.05222746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998638954046836-0.998636456198981)×R²
    abs(0.05215535-0.05210741)×2.4978478548876e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.4978478548876e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.4978478548876e-06×40589641000000     		ar = 93021.7759964609m²