Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6663 / 10759
↖ ↑ ↗
← S 49.023461°
W 33.596192°		 ← 1 602.18 m → S 49.023461°
W 33.574219°		 →
↑
1 601.92 m
↓
↑
1 601.92 m
↓
S 49.037868°
W 33.596192°		 ← 1 601.72 m →
2 566 199 m²		 S 49.037868°
W 33.574219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406707763671875 y=0.656707763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406707763671875 × 214)
    floor (0.406707763671875 × 16384)
    floor (6663.5)     		tx = 6663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656707763671875 × 214)
    floor (0.656707763671875 × 16384)
    floor (10759.5)     		ty = 10759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6663 / 10759 ti = "14/6663/10759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6663/10759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6663 ÷ 214
    6663 ÷ 16384     		x = 0.40667724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10759 ÷ 214
    10759 ÷ 16384     		y = 0.65667724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40667724609375 × 2 - 1) × π
    -0.1866455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58636416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65667724609375 × 2 - 1) × π
    -0.3133544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.984432170597473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58636416} λ = -0.58636416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.984432170597473))-π/2
    2×atan(0.373651336925217)-π/2
    2×0.357587756777852-π/2
    0.715175513555704-1.57079632675     		φ = -0.85562081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58636416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.596192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85562081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.023461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6663 KachelY 10759 -0.58636416 -0.85562081 -33.596192 -49.023461
    Oben rechts KachelX + 1 6664 KachelY 10759 -0.58598066 -0.85562081 -33.574219 -49.023461
    Unten links KachelX 6663 KachelY + 1 10760 -0.58636416 -0.85587225 -33.596192 -49.037868
    Unten rechts KachelX + 1 6664 KachelY + 1 10760 -0.58598066 -0.85587225 -33.574219 -49.037868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85562081--0.85587225) × R
    0.000251439999999992 × 6371000     		dl = 1601.92423999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85562081--0.85587225) × R
    0.000251439999999992 × 6371000     		dr = 1601.92423999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58636416--0.58598066) × cos(-0.85562081) × R
    0.000383499999999981 × 0.655749938143483 × 6371000     		do = 1602.17972524222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58636416--0.58598066) × cos(-0.85587225) × R
    0.000383499999999981 × 0.655560085708572 × 6371000     		du = 1601.71586286983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85562081)-sin(-0.85587225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655749938143483-0.655560085708572)×R²
    abs(-0.58598066--0.58636416)×0.000189852434910653×R²
    0.000383499999999981×0.000189852434910653×6371000²
    0.000383499999999981×0.000189852434910653×40589641000000     		ar = 2566199.01603262m²