Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6666 / 10762
↖ ↑ ↗
← S 49.066669°
W 33.530273°		 ← 1 600.75 m → S 49.066669°
W 33.508301°		 →
↑
1 600.52 m
↓
↑
1 600.52 m
↓
S 49.081062°
W 33.530273°		 ← 1 600.28 m →
2 561 660 m²		 S 49.081062°
W 33.508301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406890869140625 y=0.656890869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406890869140625 × 214)
    floor (0.406890869140625 × 16384)
    floor (6666.5)     		tx = 6666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656890869140625 × 214)
    floor (0.656890869140625 × 16384)
    floor (10762.5)     		ty = 10762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6666 / 10762 ti = "14/6666/10762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6666/10762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6666 ÷ 214
    6666 ÷ 16384     		x = 0.4068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10762 ÷ 214
    10762 ÷ 16384     		y = 0.6568603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4068603515625 × 2 - 1) × π
    -0.186279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58521367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6568603515625 × 2 - 1) × π
    -0.313720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.985582656188355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58521367} λ = -0.58521367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.985582656188355))-π/2
    2×atan(0.373221703636914)-π/2
    2×0.357210705163109-π/2
    0.714421410326218-1.57079632675     		φ = -0.85637492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58521367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.530273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85637492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.066669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6666 KachelY 10762 -0.58521367 -0.85637492 -33.530273 -49.066669
    Oben rechts KachelX + 1 6667 KachelY 10762 -0.58483018 -0.85637492 -33.508301 -49.066669
    Unten links KachelX 6666 KachelY + 1 10763 -0.58521367 -0.85662614 -33.530273 -49.081062
    Unten rechts KachelX + 1 6667 KachelY + 1 10763 -0.58483018 -0.85662614 -33.508301 -49.081062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85637492--0.85662614) × R
    0.000251219999999996 × 6371000     		dl = 1600.52261999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85637492--0.85662614) × R
    0.000251219999999996 × 6371000     		dr = 1600.52261999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58521367--0.58483018) × cos(-0.85637492) × R
    0.000383490000000042 × 0.655180415162382 × 6371000     		do = 1600.74648044325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58521367--0.58483018) × cos(-0.85662614) × R
    0.000383490000000042 × 0.654990604700638 × 6371000     		du = 1600.28273271582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85637492)-sin(-0.85662614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655180415162382-0.654990604700638)×R²
    abs(-0.58483018--0.58521367)×0.000189810461744266×R²
    0.000383490000000042×0.000189810461744266×6371000²
    0.000383490000000042×0.000189810461744266×40589641000000     		ar = 2561659.84494486m²