Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66688 / 68736
↖ ↑ ↗
← S  8.754795°
E  3.164063°		 ← 301.87 m → S  8.754795°
E  3.166809°		 →
↑
301.86 m
↓
↑
301.86 m
↓
S  8.757509°
E  3.164063°		 ← 301.86 m →
91 121 m²		 S  8.757509°
E  3.166809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508792877197266 y=0.524417877197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508792877197266 × 217)
    floor (0.508792877197266 × 131072)
    floor (66688.5)     		tx = 66688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524417877197266 × 217)
    floor (0.524417877197266 × 131072)
    floor (68736.5)     		ty = 68736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66688 / 68736 ti = "17/66688/68736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66688/68736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66688 ÷ 217
    66688 ÷ 131072     		x = 0.5087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68736 ÷ 217
    68736 ÷ 131072     		y = 0.5244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5087890625 × 2 - 1) × π
    0.017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05522331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5244140625 × 2 - 1) × π
    -0.048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.15339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05522331} λ = 0.05522331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.15339807878418))-π/2
    2×atan(0.857788186558546)-π/2
    2×0.708998166952786-π/2
    1.41799633390557-1.57079632675     		φ = -0.15279999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05522331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15279999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.754795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66688 KachelY 68736 0.05522331 -0.15279999 3.164063 -8.754795
    Oben rechts KachelX + 1 66689 KachelY 68736 0.05527125 -0.15279999 3.166809 -8.754795
    Unten links KachelX 66688 KachelY + 1 68737 0.05522331 -0.15284737 3.164063 -8.757509
    Unten rechts KachelX + 1 66689 KachelY + 1 68737 0.05527125 -0.15284737 3.166809 -8.757509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15279999--0.15284737) × R
    4.73800000000135e-05 × 6371000     		dl = 301.857980000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15279999--0.15284737) × R
    4.73800000000135e-05 × 6371000     		dr = 301.857980000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05522331-0.05527125) × cos(-0.15279999) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.988348777253828 × 6371000     		do = 301.867156670866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05522331-0.05527125) × cos(-0.15284737) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.988341564619828 × 6371000     		du = 301.864953746789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15279999)-sin(-0.15284737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988348777253828-0.988341564619828)×R²
    abs(0.05527125-0.05522331)×7.21263399994232e-06×R²
    4.79400000000033e-05×7.21263399994232e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×7.21263399994232e-06×40589641000000     		ar = 91120.6776729656m²