Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66704 / 66704
↖ ↑ ↗
← S  3.206333°
E  3.208008°		 ← 304.95 m → S  3.206333°
E  3.210755°		 →
↑
304.92 m
↓
↑
304.92 m
↓
S  3.209075°
E  3.208008°		 ← 304.95 m →
92 983 m²		 S  3.209075°
E  3.210755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508914947509766 y=0.508914947509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508914947509766 × 217)
    floor (0.508914947509766 × 131072)
    floor (66704.5)     		tx = 66704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508914947509766 × 217)
    floor (0.508914947509766 × 131072)
    floor (66704.5)     		ty = 66704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66704 / 66704 ti = "17/66704/66704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66704/66704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66704 ÷ 217
    66704 ÷ 131072     		x = 0.5089111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66704 ÷ 217
    66704 ÷ 131072     		y = 0.5089111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5089111328125 × 2 - 1) × π
    0.017822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05599030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5089111328125 × 2 - 1) × π
    -0.017822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0559902987562256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05599030} λ = 0.05599030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0559902987562256))-π/2
    2×atan(0.945548308840546)-π/2
    2×0.757417629628329-π/2
    1.51483525925666-1.57079632675     		φ = -0.05596107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05599030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.208008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05596107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.206333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66704 KachelY 66704 0.05599030 -0.05596107 3.208008 -3.206333
    Oben rechts KachelX + 1 66705 KachelY 66704 0.05603824 -0.05596107 3.210755 -3.206333
    Unten links KachelX 66704 KachelY + 1 66705 0.05599030 -0.05600893 3.208008 -3.209075
    Unten rechts KachelX + 1 66705 KachelY + 1 66705 0.05603824 -0.05600893 3.210755 -3.209075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05596107--0.05600893) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dl = 304.91605999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05596107--0.05600893) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dr = 304.91605999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05599030-0.05603824) × cos(-0.05596107) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998434587911973 × 6371000     		do = 304.94762285463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05599030-0.05603824) × cos(-0.05600893) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998431909869359 × 6371000     		du = 304.946804911483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05596107)-sin(-0.05600893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998434587911973-0.998431909869359)×R²
    abs(0.05603824-0.05599030)×2.67804261411264e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.67804261411264e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.67804261411264e-06×40589641000000     		ar = 92983.3029829426m²