Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6673 / 10767
↖ ↑ ↗
← S 49.138597°
W 33.376465°		 ← 1 598.43 m → S 49.138597°
W 33.354492°		 →
↑
1 598.23 m
↓
↑
1 598.23 m
↓
S 49.152970°
W 33.376465°		 ← 1 597.96 m →
2 554 284 m²		 S 49.152970°
W 33.354492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407318115234375 y=0.657196044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407318115234375 × 214)
    floor (0.407318115234375 × 16384)
    floor (6673.5)     		tx = 6673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657196044921875 × 214)
    floor (0.657196044921875 × 16384)
    floor (10767.5)     		ty = 10767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6673 / 10767 ti = "14/6673/10767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6673/10767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6673 ÷ 214
    6673 ÷ 16384     		x = 0.40728759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10767 ÷ 214
    10767 ÷ 16384     		y = 0.65716552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40728759765625 × 2 - 1) × π
    -0.1854248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58252920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65716552734375 × 2 - 1) × π
    -0.3143310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.987500132173157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58252920} λ = -0.58252920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.987500132173157))-π/2
    2×atan(0.372506745659617)-π/2
    2×0.356583013716476-π/2
    0.713166027432952-1.57079632675     		φ = -0.85763030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58252920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.376465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85763030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.138597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6673 KachelY 10767 -0.58252920 -0.85763030 -33.376465 -49.138597
    Oben rechts KachelX + 1 6674 KachelY 10767 -0.58214571 -0.85763030 -33.354492 -49.138597
    Unten links KachelX 6673 KachelY + 1 10768 -0.58252920 -0.85788116 -33.376465 -49.152970
    Unten rechts KachelX + 1 6674 KachelY + 1 10768 -0.58214571 -0.85788116 -33.354492 -49.152970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85763030--0.85788116) × R
    0.000250860000000075 × 6371000     		dl = 1598.22906000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85763030--0.85788116) × R
    0.000250860000000075 × 6371000     		dr = 1598.22906000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58252920--0.58214571) × cos(-0.85763030) × R
    0.000383489999999931 × 0.65423149413128 × 6371000     		do = 1598.42806254505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58252920--0.58214571) × cos(-0.85788116) × R
    0.000383489999999931 × 0.654041749545626 × 6371000     		du = 1597.96447576706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85763030)-sin(-0.85788116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65423149413128-0.654041749545626)×R²
    abs(-0.58214571--0.58252920)×0.00018974458565435×R²
    0.000383489999999931×0.00018974458565435×6371000²
    0.000383489999999931×0.00018974458565435×40589641000000     		ar = 2554283.73434489m²