Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6674 / 10770
↖ ↑ ↗
← S 49.181704°
W 33.354492°		 ← 1 597.08 m → S 49.181704°
W 33.332519°		 →
↑
1 596.83 m
↓
↑
1 596.83 m
↓
S 49.196064°
W 33.354492°		 ← 1 596.62 m →
2 549 890 m²		 S 49.196064°
W 33.332519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407379150390625 y=0.657379150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407379150390625 × 214)
    floor (0.407379150390625 × 16384)
    floor (6674.5)     		tx = 6674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657379150390625 × 214)
    floor (0.657379150390625 × 16384)
    floor (10770.5)     		ty = 10770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6674 / 10770 ti = "14/6674/10770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6674/10770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6674 ÷ 214
    6674 ÷ 16384     		x = 0.4073486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10770 ÷ 214
    10770 ÷ 16384     		y = 0.6573486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4073486328125 × 2 - 1) × π
    -0.185302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58214571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6573486328125 × 2 - 1) × π
    -0.314697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.988650617764038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58214571} λ = -0.58214571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.988650617764038))-π/2
    2×atan(0.372078428449863)-π/2
    2×0.356206835479319-π/2
    0.712413670958638-1.57079632675     		φ = -0.85838266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58214571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.354492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85838266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.181704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6674 KachelY 10770 -0.58214571 -0.85838266 -33.354492 -49.181704
    Oben rechts KachelX + 1 6675 KachelY 10770 -0.58176221 -0.85838266 -33.332519 -49.181704
    Unten links KachelX 6674 KachelY + 1 10771 -0.58214571 -0.85863330 -33.354492 -49.196064
    Unten rechts KachelX + 1 6675 KachelY + 1 10771 -0.58176221 -0.85863330 -33.332519 -49.196064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85838266--0.85863330) × R
    0.00025064000000008 × 6371000     		dl = 1596.82744000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85838266--0.85863330) × R
    0.00025064000000008 × 6371000     		dr = 1596.82744000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58214571--0.58176221) × cos(-0.85838266) × R
    0.000383500000000092 × 0.653662303401283 × 6371000     		do = 1597.07905216122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58214571--0.58176221) × cos(-0.85863330) × R
    0.000383500000000092 × 0.653472601938592 × 6371000     		du = 1596.615558656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85838266)-sin(-0.85863330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653662303401283-0.653472601938592)×R²
    abs(-0.58176221--0.58214571)×0.000189701462691261×R²
    0.000383500000000092×0.000189701462691261×6371000²
    0.000383500000000092×0.000189701462691261×40589641000000     		ar = 2549889.60811612m²