Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6676 / 10772
↖ ↑ ↗
← S 49.210420°
W 33.310547°		 ← 1 596.15 m → S 49.210420°
W 33.288574°		 →
↑
1 595.94 m
↓
↑
1 595.94 m
↓
S 49.224773°
W 33.310547°		 ← 1 595.69 m →
2 546 986 m²		 S 49.224773°
W 33.288574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407501220703125 y=0.657501220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407501220703125 × 214)
    floor (0.407501220703125 × 16384)
    floor (6676.5)     		tx = 6676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657501220703125 × 214)
    floor (0.657501220703125 × 16384)
    floor (10772.5)     		ty = 10772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6676 / 10772 ti = "14/6676/10772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6676/10772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6676 ÷ 214
    6676 ÷ 16384     		x = 0.407470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10772 ÷ 214
    10772 ÷ 16384     		y = 0.657470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407470703125 × 2 - 1) × π
    -0.18505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58137872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657470703125 × 2 - 1) × π
    -0.31494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.989417608157959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58137872} λ = -0.58137872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.989417608157959))-π/2
    2×atan(0.371793157283563)-π/2
    2×0.355956231873019-π/2
    0.711912463746038-1.57079632675     		φ = -0.85888386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58137872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.310547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85888386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.210420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6676 KachelY 10772 -0.58137872 -0.85888386 -33.310547 -49.210420
    Oben rechts KachelX + 1 6677 KachelY 10772 -0.58099522 -0.85888386 -33.288574 -49.210420
    Unten links KachelX 6676 KachelY + 1 10773 -0.58137872 -0.85913436 -33.310547 -49.224773
    Unten rechts KachelX + 1 6677 KachelY + 1 10773 -0.58099522 -0.85913436 -33.288574 -49.224773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85888386--0.85913436) × R
    0.000250499999999931 × 6371000     		dl = 1595.93549999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85888386--0.85913436) × R
    0.000250499999999931 × 6371000     		dr = 1595.93549999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58137872--0.58099522) × cos(-0.85888386) × R
    0.000383499999999981 × 0.653282919993597 × 6371000     		do = 1596.1521128375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58137872--0.58099522) × cos(-0.85913436) × R
    0.000383499999999981 × 0.653093242471947 × 6371000     		du = 1595.68867782692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85888386)-sin(-0.85913436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653282919993597-0.653093242471947)×R²
    abs(-0.58099522--0.58137872)×0.00018967752165×R²
    0.000383499999999981×0.00018967752165×6371000²
    0.000383499999999981×0.00018967752165×40589641000000     		ar = 2546986.02740276m²