Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66816 / 66816
↖ ↑ ↗
← S  3.513421°
E  3.515625°		 ← 304.85 m → S  3.513421°
E  3.518372°		 →
↑
304.79 m
↓
↑
304.79 m
↓
S  3.516162°
E  3.515625°		 ← 304.85 m →
92 915 m²		 S  3.516162°
E  3.518372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509769439697266 y=0.509769439697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509769439697266 × 217)
    floor (0.509769439697266 × 131072)
    floor (66816.5)     		tx = 66816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509769439697266 × 217)
    floor (0.509769439697266 × 131072)
    floor (66816.5)     		ty = 66816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66816 / 66816 ti = "17/66816/66816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66816/66816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66816 ÷ 217
    66816 ÷ 131072     		x = 0.509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66816 ÷ 217
    66816 ÷ 131072     		y = 0.509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509765625 × 2 - 1) × π
    0.01953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06135923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509765625 × 2 - 1) × π
    -0.01953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06135923} λ = 0.06135923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0613592315136719))-π/2
    2×atan(0.940485327117559)-π/2
    2×0.754737780770683-π/2
    1.50947556154137-1.57079632675     		φ = -0.06132077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06135923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06132077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.513421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66816 KachelY 66816 0.06135923 -0.06132077 3.515625 -3.513421
    Oben rechts KachelX + 1 66817 KachelY 66816 0.06140717 -0.06132077 3.518372 -3.513421
    Unten links KachelX 66816 KachelY + 1 66817 0.06135923 -0.06136861 3.515625 -3.516162
    Unten rechts KachelX + 1 66817 KachelY + 1 66817 0.06140717 -0.06136861 3.518372 -3.516162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06132077--0.06136861) × R
    4.78400000000004e-05 × 6371000     		dl = 304.788640000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06132077--0.06136861) × R
    4.78400000000004e-05 × 6371000     		dr = 304.788640000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06135923-0.06140717) × cos(-0.06132077) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998120470650342 × 6371000     		do = 304.851683357505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06135923-0.06140717) × cos(-0.06136861) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998117537760674 × 6371000     		du = 304.850787577509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06132077)-sin(-0.06136861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998120470650342-0.998117537760674)×R²
    abs(0.06140717-0.06135923)×2.93288966723981e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.93288966723981e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.93288966723981e-06×40589641000000     		ar = 92915.1934781935m²