Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66820 / 66820
↖ ↑ ↗
← S  3.524387°
E  3.526611°		 ← 304.85 m → S  3.524387°
E  3.529358°		 →
↑
304.85 m
↓
↑
304.85 m
↓
S  3.527128°
E  3.526611°		 ← 304.85 m →
92 934 m²		 S  3.527128°
E  3.529358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509799957275391 y=0.509799957275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509799957275391 × 217)
    floor (0.509799957275391 × 131072)
    floor (66820.5)     		tx = 66820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509799957275391 × 217)
    floor (0.509799957275391 × 131072)
    floor (66820.5)     		ty = 66820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66820 / 66820 ti = "17/66820/66820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66820/66820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66820 ÷ 217
    66820 ÷ 131072     		x = 0.509796142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66820 ÷ 217
    66820 ÷ 131072     		y = 0.509796142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509796142578125 × 2 - 1) × π
    0.01959228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06155098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509796142578125 × 2 - 1) × π
    -0.01959228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0615509791121521
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06155098} λ = 0.06155098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0615509791121521))-π/2
    2×atan(0.940305008603052)-π/2
    2×0.754642087731852-π/2
    1.5092841754637-1.57079632675     		φ = -0.06151215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06155098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.526611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06151215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.524387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66820 KachelY 66820 0.06155098 -0.06151215 3.526611 -3.524387
    Oben rechts KachelX + 1 66821 KachelY 66820 0.06159892 -0.06151215 3.529358 -3.524387
    Unten links KachelX 66820 KachelY + 1 66821 0.06155098 -0.06156000 3.526611 -3.527128
    Unten rechts KachelX + 1 66821 KachelY + 1 66821 0.06159892 -0.06156000 3.529358 -3.527128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06151215--0.06156000) × R
    4.78499999999951e-05 × 6371000     		dl = 304.852349999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06151215--0.06156000) × R
    4.78499999999951e-05 × 6371000     		dr = 304.852349999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06155098-0.06159892) × cos(-0.06151215) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998108724156089 × 6371000     		do = 304.84809567585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06155098-0.06159892) × cos(-0.06156000) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998105781512867 × 6371000     		du = 304.847196916866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06151215)-sin(-0.06156000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998108724156089-0.998105781512867)×R²
    abs(0.06159892-0.06155098)×2.94264322209248e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.94264322209248e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.94264322209248e-06×40589641000000     		ar = 92933.5213831382m²