Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6688 / 10848
↖ ↑ ↗
← S 50.289339°
W 33.046875°		 ← 1 561.04 m → S 50.289339°
W 33.024902°		 →
↑
1 560.77 m
↓
↑
1 560.77 m
↓
S 50.303376°
W 33.046875°		 ← 1 560.58 m →
2 436 057 m²		 S 50.303376°
W 33.024902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408233642578125 y=0.662139892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408233642578125 × 214)
    floor (0.408233642578125 × 16384)
    floor (6688.5)     		tx = 6688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662139892578125 × 214)
    floor (0.662139892578125 × 16384)
    floor (10848.5)     		ty = 10848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6688 / 10848 ti = "14/6688/10848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6688/10848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6688 ÷ 214
    6688 ÷ 16384     		x = 0.408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10848 ÷ 214
    10848 ÷ 16384     		y = 0.662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408203125 × 2 - 1) × π
    -0.18359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.57677678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662109375 × 2 - 1) × π
    -0.32421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01856324312695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57677678} λ = -0.57677678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01856324312695))-π/2
    2×atan(0.361113399792782)-π/2
    2×0.346540889095564-π/2
    0.693081778191129-1.57079632675     		φ = -0.87771455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57677678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.046875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87771455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.289339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6688 KachelY 10848 -0.57677678 -0.87771455 -33.046875 -50.289339
    Oben rechts KachelX + 1 6689 KachelY 10848 -0.57639328 -0.87771455 -33.024902 -50.289339
    Unten links KachelX 6688 KachelY + 1 10849 -0.57677678 -0.87795953 -33.046875 -50.303376
    Unten rechts KachelX + 1 6689 KachelY + 1 10849 -0.57639328 -0.87795953 -33.024902 -50.303376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87771455--0.87795953) × R
    0.000244980000000061 × 6371000     		dl = 1560.76758000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87771455--0.87795953) × R
    0.000244980000000061 × 6371000     		dr = 1560.76758000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57677678--0.57639328) × cos(-0.87771455) × R
    0.000383499999999981 × 0.638910963826672 × 6371000     		do = 1561.03742133191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57677678--0.57639328) × cos(-0.87795953) × R
    0.000383499999999981 × 0.63872248627289 × 6371000     		du = 1560.57691817702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87771455)-sin(-0.87795953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638910963826672-0.63872248627289)×R²
    abs(-0.57639328--0.57677678)×0.000188477553782929×R²
    0.000383499999999981×0.000188477553782929×6371000²
    0.000383499999999981×0.000188477553782929×40589641000000     		ar = 2436057.24136874m²