Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6688 / 544
↖ ↑ ↗
← N 82.494824°
E113.906250°		 ← 638.25 m → N 82.494824°
E113.950195°		 →
↑
638.50 m
↓
↑
638.50 m
↓
N 82.489082°
E113.906250°		 ← 638.74 m →
407 681 m²		 N 82.489082°
E113.950195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81646728515625 y=0.06646728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81646728515625 × 213)
    floor (0.81646728515625 × 8192)
    floor (6688.5)     		tx = 6688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06646728515625 × 213)
    floor (0.06646728515625 × 8192)
    floor (544.5)     		ty = 544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6688 / 544 ti = "13/6688/544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6688/544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6688 ÷ 213
    6688 ÷ 8192     		x = 0.81640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 544 ÷ 213
    544 ÷ 8192     		y = 0.06640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81640625 × 2 - 1) × π
    0.6328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98803910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06640625 × 2 - 1) × π
    0.8671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.72434987920703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98803910} λ = 1.98803910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72434987920703))-π/2
    2×atan(15.246498638356)-π/2
    2×1.50530130733126-π/2
    3.01060261466252-1.57079632675     		φ = 1.43980629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98803910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43980629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.494824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6688 KachelY 544 1.98803910 1.43980629 113.906250 82.494824
    Oben rechts KachelX + 1 6689 KachelY 544 1.98880609 1.43980629 113.950195 82.494824
    Unten links KachelX 6688 KachelY + 1 545 1.98803910 1.43970607 113.906250 82.489082
    Unten rechts KachelX + 1 6689 KachelY + 1 545 1.98880609 1.43970607 113.950195 82.489082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43980629-1.43970607) × R
    0.000100219999999984 × 6371000     		dl = 638.501619999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43980629-1.43970607) × R
    0.000100219999999984 × 6371000     		dr = 638.501619999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98803910-1.98880609) × cos(1.43980629) × R
    0.000766990000000023 × 0.130615761686591 × 6371000     		do = 638.253043049787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98803910-1.98880609) × cos(1.43970607) × R
    0.000766990000000023 × 0.130715122452265 × 6371000     		du = 638.738568764542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43980629)-sin(1.43970607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130615761686591-0.130715122452265)×R²
    abs(1.98880609-1.98803910)×9.93607656738504e-05×R²
    0.000766990000000023×9.93607656738504e-05×6371000²
    0.000766990000000023×9.93607656738504e-05×40589641000000     		ar = 407680.606777971m²