Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6689 / 10785
↖ ↑ ↗
← S 49.396675°
W 33.024902°		 ← 1 590.09 m → S 49.396675°
W 33.002930°		 →
↑
1 589.88 m
↓
↑
1 589.88 m
↓
S 49.410973°
W 33.024902°		 ← 1 589.63 m →
2 527 687 m²		 S 49.410973°
W 33.002930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408294677734375 y=0.658294677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408294677734375 × 214)
    floor (0.408294677734375 × 16384)
    floor (6689.5)     		tx = 6689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658294677734375 × 214)
    floor (0.658294677734375 × 16384)
    floor (10785.5)     		ty = 10785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6689 / 10785 ti = "14/6689/10785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6689/10785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6689 ÷ 214
    6689 ÷ 16384     		x = 0.40826416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10785 ÷ 214
    10785 ÷ 16384     		y = 0.65826416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40826416015625 × 2 - 1) × π
    -0.1834716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.57639328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65826416015625 × 2 - 1) × π
    -0.3165283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.994403045718445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57639328} λ = -0.57639328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994403045718445))-π/2
    2×atan(0.369944218426672)-π/2
    2×0.354330853606721-π/2
    0.708661707213442-1.57079632675     		φ = -0.86213462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57639328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.024902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86213462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.396675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6689 KachelY 10785 -0.57639328 -0.86213462 -33.024902 -49.396675
    Oben rechts KachelX + 1 6690 KachelY 10785 -0.57600979 -0.86213462 -33.002930 -49.396675
    Unten links KachelX 6689 KachelY + 1 10786 -0.57639328 -0.86238417 -33.024902 -49.410973
    Unten rechts KachelX + 1 6690 KachelY + 1 10786 -0.57600979 -0.86238417 -33.002930 -49.410973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86213462--0.86238417) × R
    0.000249550000000043 × 6371000     		dl = 1589.88305000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86213462--0.86238417) × R
    0.000249550000000043 × 6371000     		dr = 1589.88305000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57639328--0.57600979) × cos(-0.86213462) × R
    0.000383490000000042 × 0.650818277052435 × 6371000     		do = 1590.088840097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57639328--0.57600979) × cos(-0.86238417) × R
    0.000383490000000042 × 0.650628790059247 × 6371000     		du = 1589.62588267273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86213462)-sin(-0.86238417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650818277052435-0.650628790059247)×R²
    abs(-0.57600979--0.57639328)×0.000189486993187993×R²
    0.000383490000000042×0.000189486993187993×6371000²
    0.000383490000000042×0.000189486993187993×40589641000000     		ar = 2527687.28390059m²