Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 672 / 929
↖ ↑ ↗
← S 81.147481°
E 56.250000°		 ← 6 015.93 m → S 81.147481°
E 56.601563°		 →
↑
5 997.72 m
↓
↑
5 997.72 m
↓
S 81.201420°
E 56.250000°		 ← 5 979.57 m →
35 972 844 m²		 S 81.201420°
E 56.601563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65673828125 y=0.90771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65673828125 × 210)
    floor (0.65673828125 × 1024)
    floor (672.5)     		tx = 672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90771484375 × 210)
    floor (0.90771484375 × 1024)
    floor (929.5)     		ty = 929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 672 / 929 ti = "10/672/929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/672/929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 672 ÷ 210
    672 ÷ 1024     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 929 ÷ 210
    929 ÷ 1024     		y = 0.9072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9072265625 × 2 - 1) × π
    -0.814453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.55867995412012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55867995412012))-π/2
    2×atan(0.0774068536296349)-π/2
    2×0.0772528044026952-π/2
    0.15450560880539-1.57079632675     		φ = -1.41629072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41629072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.147481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 672 KachelY 929 0.98174770 -1.41629072 56.250000 -81.147481
    Oben rechts KachelX + 1 673 KachelY 929 0.98788363 -1.41629072 56.601563 -81.147481
    Unten links KachelX 672 KachelY + 1 930 0.98174770 -1.41723213 56.250000 -81.201420
    Unten rechts KachelX + 1 673 KachelY + 1 930 0.98788363 -1.41723213 56.601563 -81.201420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41629072--1.41723213) × R
    0.000941410000000031 × 6371000     		dl = 5997.7231100002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41629072--1.41723213) × R
    0.000941410000000031 × 6371000     		dr = 5997.7231100002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-0.98788363) × cos(-1.41629072) × R
    0.00613593000000001 × 0.153891614256514 × 6371000     		do = 6015.93252804855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-0.98788363) × cos(-1.41723213) × R
    0.00613593000000001 × 0.152961350526349 × 6371000     		du = 5979.5666489784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41629072)-sin(-1.41723213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153891614256514-0.152961350526349)×R²
    abs(0.98788363-0.98174770)×0.000930263730164943×R²
    0.00613593000000001×0.000930263730164943×6371000²
    0.00613593000000001×0.000930263730164943×40589641000000     		ar = 35972843.9717699m²