Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6720 / 10817
↖ ↑ ↗
← S 49.852152°
W 32.343750°		 ← 1 575.33 m → S 49.852152°
W 32.321777°		 →
↑
1 575.04 m
↓
↑
1 575.04 m
↓
S 49.866317°
W 32.343750°		 ← 1 574.87 m →
2 480 848 m²		 S 49.866317°
W 32.321777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410186767578125 y=0.660247802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410186767578125 × 214)
    floor (0.410186767578125 × 16384)
    floor (6720.5)     		tx = 6720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660247802734375 × 214)
    floor (0.660247802734375 × 16384)
    floor (10817.5)     		ty = 10817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6720 / 10817 ti = "14/6720/10817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6720/10817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6720 ÷ 214
    6720 ÷ 16384     		x = 0.41015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10817 ÷ 214
    10817 ÷ 16384     		y = 0.66021728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41015625 × 2 - 1) × π
    -0.1796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56450493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66021728515625 × 2 - 1) × π
    -0.3204345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00667489202118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56450493} λ = -0.56450493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00667489202118))-π/2
    2×atan(0.365432062705049)-π/2
    2×0.35035607050364-π/2
    0.70071214100728-1.57079632675     		φ = -0.87008419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56450493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.343750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87008419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.852152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6720 KachelY 10817 -0.56450493 -0.87008419 -32.343750 -49.852152
    Oben rechts KachelX + 1 6721 KachelY 10817 -0.56412143 -0.87008419 -32.321777 -49.852152
    Unten links KachelX 6720 KachelY + 1 10818 -0.56450493 -0.87033141 -32.343750 -49.866317
    Unten rechts KachelX + 1 6721 KachelY + 1 10818 -0.56412143 -0.87033141 -32.321777 -49.866317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87008419--0.87033141) × R
    0.000247219999999992 × 6371000     		dl = 1575.03861999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87008419--0.87033141) × R
    0.000247219999999992 × 6371000     		dr = 1575.03861999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56450493--0.56412143) × cos(-0.87008419) × R
    0.000383499999999981 × 0.644762196101618 × 6371000     		do = 1575.33361134779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56450493--0.56412143) × cos(-0.87033141) × R
    0.000383499999999981 × 0.644573205580134 × 6371000     		du = 1574.87185486994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87008419)-sin(-0.87033141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644762196101618-0.644573205580134)×R²
    abs(-0.56412143--0.56450493)×0.000188990521483468×R²
    0.000383499999999981×0.000188990521483468×6371000²
    0.000383499999999981×0.000188990521483468×40589641000000     		ar = 2480847.64774831m²