Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6728 / 10824
↖ ↑ ↗
← S 49.951220°
W 32.167969°		 ← 1 572.10 m → S 49.951220°
W 32.145996°		 →
↑
1 571.85 m
↓
↑
1 571.85 m
↓
S 49.965356°
W 32.167969°		 ← 1 571.64 m →
2 470 751 m²		 S 49.965356°
W 32.145996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410675048828125 y=0.660675048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410675048828125 × 214)
    floor (0.410675048828125 × 16384)
    floor (6728.5)     		tx = 6728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660675048828125 × 214)
    floor (0.660675048828125 × 16384)
    floor (10824.5)     		ty = 10824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6728 / 10824 ti = "14/6728/10824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6728/10824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6728 ÷ 214
    6728 ÷ 16384     		x = 0.41064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10824 ÷ 214
    10824 ÷ 16384     		y = 0.66064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41064453125 × 2 - 1) × π
    -0.1787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56143697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66064453125 × 2 - 1) × π
    -0.3212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.0093593583999
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56143697} λ = -0.56143697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0093593583999))-π/2
    2×atan(0.364452388159024)-π/2
    2×0.349491537009783-π/2
    0.698983074019566-1.57079632675     		φ = -0.87181325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56143697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.167969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87181325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.951220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6728 KachelY 10824 -0.56143697 -0.87181325 -32.167969 -49.951220
    Oben rechts KachelX + 1 6729 KachelY 10824 -0.56105347 -0.87181325 -32.145996 -49.951220
    Unten links KachelX 6728 KachelY + 1 10825 -0.56143697 -0.87205997 -32.167969 -49.965356
    Unten rechts KachelX + 1 6729 KachelY + 1 10825 -0.56105347 -0.87205997 -32.145996 -49.965356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87181325--0.87205997) × R
    0.000246720000000034 × 6371000     		dl = 1571.85312000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87181325--0.87205997) × R
    0.000246720000000034 × 6371000     		dr = 1571.85312000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56143697--0.56105347) × cos(-0.87181325) × R
    0.000383499999999981 × 0.643439568499962 × 6371000     		do = 1572.10206376516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56143697--0.56105347) × cos(-0.87205997) × R
    0.000383499999999981 × 0.643250685520518 × 6371000     		du = 1571.64057004246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87181325)-sin(-0.87205997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643439568499962-0.643250685520518)×R²
    abs(-0.56105347--0.56143697)×0.000188882979444194×R²
    0.000383499999999981×0.000188882979444194×6371000²
    0.000383499999999981×0.000188882979444194×40589641000000     		ar = 2470750.84624704m²