Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 673 / 415
↖ ↑ ↗
← N 32.249975°
E 56.601563°		 ← 33.061 km → N 32.249975°
E 56.953125°		 →
↑
33.115 km
↓
↑
33.115 km
↓
N 31.952162°
E 56.601563°		 ← 33.169 km →
1 096.62 km²		 N 31.952162°
E 56.953125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65771484375 y=0.40576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65771484375 × 210)
    floor (0.65771484375 × 1024)
    floor (673.5)     		tx = 673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40576171875 × 210)
    floor (0.40576171875 × 1024)
    floor (415.5)     		ty = 415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 673 / 415 ti = "10/673/415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/673/415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 673 ÷ 210
    673 ÷ 1024     		x = 0.6572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 415 ÷ 210
    415 ÷ 1024     		y = 0.4052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6572265625 × 2 - 1) × π
    0.314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98788363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4052734375 × 2 - 1) × π
    0.189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.595184545682617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98788363} λ = 0.98788363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.595184545682617))-π/2
    2×atan(1.8133655628687)-π/2
    2×1.0668322823597-π/2
    2.13366456471939-1.57079632675     		φ = 0.56286824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98788363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.601563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56286824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.249975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 673 KachelY 415 0.98788363 0.56286824 56.601563 32.249975
    Oben rechts KachelX + 1 674 KachelY 415 0.99401955 0.56286824 56.953125 32.249975
    Unten links KachelX 673 KachelY + 1 416 0.98788363 0.55767043 56.601563 31.952162
    Unten rechts KachelX + 1 674 KachelY + 1 416 0.99401955 0.55767043 56.953125 31.952162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56286824-0.55767043) × R
    0.00519780999999997 × 6371000     		dl = 33115.2475099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56286824-0.55767043) × R
    0.00519780999999997 × 6371000     		dr = 33115.2475099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98788363-0.99401955) × cos(0.56286824) × R
    0.00613591999999996 × 0.845728058505028 × 6371000     		do = 33061.1558643962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98788363-0.99401955) × cos(0.55767043) × R
    0.00613591999999996 × 0.848490246343458 × 6371000     		du = 33169.1351631018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56286824)-sin(0.55767043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845728058505028-0.848490246343458)×R²
    abs(0.99401955-0.98788363)×0.0027621878384303×R²
    0.00613591999999996×0.0027621878384303×6371000²
    0.00613591999999996×0.0027621878384303×40589641000000     		ar = 1096618708.98511m²