Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67328 / 43264
↖ ↑ ↗
← N 52.052490°
E  4.921875°		 ← 187.82 m → N 52.052490°
E  4.924622°		 →
↑
187.82 m
↓
↑
187.82 m
↓
N 52.050801°
E  4.921875°		 ← 187.83 m →
35 276 m²		 N 52.050801°
E  4.924622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513675689697266 y=0.330081939697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513675689697266 × 217)
    floor (0.513675689697266 × 131072)
    floor (67328.5)     		tx = 67328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330081939697266 × 217)
    floor (0.330081939697266 × 131072)
    floor (43264.5)     		ty = 43264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67328 / 43264 ti = "17/67328/43264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67328/43264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67328 ÷ 217
    67328 ÷ 131072     		x = 0.513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43264 ÷ 217
    43264 ÷ 131072     		y = 0.330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513671875 × 2 - 1) × π
    0.02734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08590292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330078125 × 2 - 1) × π
    0.33984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06765062833789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08590292} λ = 0.08590292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06765062833789))-π/2
    2×atan(2.90853822948569)-π/2
    2×1.23964183472267-π/2
    2.47928366944534-1.57079632675     		φ = 0.90848734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08590292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90848734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.052490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67328 KachelY 43264 0.08590292 0.90848734 4.921875 52.052490
    Oben rechts KachelX + 1 67329 KachelY 43264 0.08595086 0.90848734 4.924622 52.052490
    Unten links KachelX 67328 KachelY + 1 43265 0.08590292 0.90845786 4.921875 52.050801
    Unten rechts KachelX + 1 67329 KachelY + 1 43265 0.08595086 0.90845786 4.924622 52.050801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90848734-0.90845786) × R
    2.94800000000262e-05 × 6371000     		dl = 187.817080000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90848734-0.90845786) × R
    2.94800000000262e-05 × 6371000     		dr = 187.817080000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08590292-0.08595086) × cos(0.90848734) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.614939297592205 × 6371000     		do = 187.818290022219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08590292-0.08595086) × cos(0.90845786) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.614962544499721 × 6371000     		du = 187.82539022615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90848734)-sin(0.90845786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614939297592205-0.614962544499721)×R²
    abs(0.08595086-0.08590292)×2.32469075153174e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.32469075153174e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.32469075153174e-05×40589641000000     		ar = 35276.1495749445m²