Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 675 / 165
↖ ↑ ↗
← N 76.434604°
E 57.304687°		 ← 9 169.23 m → N 76.434604°
E 57.656250°		 →
↑
9 196.67 m
↓
↑
9 196.67 m
↓
N 76.351896°
E 57.304687°		 ← 9 224.07 m →
84 578 547 m²		 N 76.351896°
E 57.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65966796875 y=0.16162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65966796875 × 210)
    floor (0.65966796875 × 1024)
    floor (675.5)     		tx = 675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16162109375 × 210)
    floor (0.16162109375 × 1024)
    floor (165.5)     		ty = 165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 675 / 165 ti = "10/675/165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/675/165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 675 ÷ 210
    675 ÷ 1024     		x = 0.6591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 165 ÷ 210
    165 ÷ 1024     		y = 0.1611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6591796875 × 2 - 1) × π
    0.318359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.00015547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1611328125 × 2 - 1) × π
    0.677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12916533352441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00015547} λ = 1.00015547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12916533352441))-π/2
    2×atan(8.40784613458549)-π/2
    2×1.45241591088479-π/2
    2.90483182176958-1.57079632675     		φ = 1.33403550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00015547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.304687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33403550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.434604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 675 KachelY 165 1.00015547 1.33403550 57.304687 76.434604
    Oben rechts KachelX + 1 676 KachelY 165 1.00629140 1.33403550 57.656250 76.434604
    Unten links KachelX 675 KachelY + 1 166 1.00015547 1.33259198 57.304687 76.351896
    Unten rechts KachelX + 1 676 KachelY + 1 166 1.00629140 1.33259198 57.656250 76.351896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33403550-1.33259198) × R
    0.00144352000000003 × 6371000     		dl = 9196.6659200002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33403550-1.33259198) × R
    0.00144352000000003 × 6371000     		dr = 9196.6659200002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00015547-1.00629140) × cos(1.33403550) × R
    0.00613593000000012 × 0.23455505297213 × 6371000     		do = 9169.22848337387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00015547-1.00629140) × cos(1.33259198) × R
    0.00613593000000012 × 0.235958057996113 × 6371000     		du = 9224.07476984354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33403550)-sin(1.33259198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23455505297213-0.235958057996113)×R²
    abs(1.00629140-1.00015547)×0.00140300502398272×R²
    0.00613593000000012×0.00140300502398272×6371000²
    0.00613593000000012×0.00140300502398272×40589641000000     		ar = 84578547.2792534m²