Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67520 / 67776
↖ ↑ ↗
← S  6.140555°
E  5.449219°		 ← 303.67 m → S  6.140555°
E  5.451966°		 →
↑
303.64 m
↓
↑
303.64 m
↓
S  6.143286°
E  5.449219°		 ← 303.67 m →
92 208 m²		 S  6.143286°
E  5.451966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515140533447266 y=0.517093658447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515140533447266 × 217)
    floor (0.515140533447266 × 131072)
    floor (67520.5)     		tx = 67520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517093658447266 × 217)
    floor (0.517093658447266 × 131072)
    floor (67776.5)     		ty = 67776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67520 / 67776 ti = "17/67520/67776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67520/67776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67520 ÷ 217
    67520 ÷ 131072     		x = 0.51513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67776 ÷ 217
    67776 ÷ 131072     		y = 0.51708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51513671875 × 2 - 1) × π
    0.0302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09510681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51708984375 × 2 - 1) × π
    -0.0341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.107378655148926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09510681} λ = 0.09510681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.107378655148926))-π/2
    2×atan(0.898185506024837)-π/2
    2×0.731811713972553-π/2
    1.46362342794511-1.57079632675     		φ = -0.10717290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09510681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10717290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.140555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67520 KachelY 67776 0.09510681 -0.10717290 5.449219 -6.140555
    Oben rechts KachelX + 1 67521 KachelY 67776 0.09515475 -0.10717290 5.451966 -6.140555
    Unten links KachelX 67520 KachelY + 1 67777 0.09510681 -0.10722056 5.449219 -6.143286
    Unten rechts KachelX + 1 67521 KachelY + 1 67777 0.09515475 -0.10722056 5.451966 -6.143286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10717290--0.10722056) × R
    4.76600000000049e-05 × 6371000     		dl = 303.641860000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10717290--0.10722056) × R
    4.76600000000049e-05 × 6371000     		dr = 303.641860000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09510681-0.09515475) × cos(-0.10717290) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.994262479685944 × 6371000     		do = 303.673353612291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09510681-0.09515475) × cos(-0.10722056) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.994257380468869 × 6371000     		du = 303.671796180143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10717290)-sin(-0.10722056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994262479685944-0.994257380468869)×R²
    abs(0.09515475-0.09510681)×5.09921707425587e-06×R²
    4.79399999999963e-05×5.09921707425587e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×5.09921707425587e-06×40589641000000     		ar = 92207.7054899449m²