Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67588 / 67596
↖ ↑ ↗
← S  5.648786°
E  5.635986°		 ← 303.88 m → S  5.648786°
E  5.638733°		 →
↑
303.90 m
↓
↑
303.90 m
↓
S  5.651519°
E  5.635986°		 ← 303.88 m →
92 348 m²		 S  5.651519°
E  5.638733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515659332275391 y=0.515720367431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515659332275391 × 217)
    floor (0.515659332275391 × 131072)
    floor (67588.5)     		tx = 67588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.515720367431641 × 217)
    floor (0.515720367431641 × 131072)
    floor (67596.5)     		ty = 67596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67588 / 67596 ti = "17/67588/67596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67588/67596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67588 ÷ 217
    67588 ÷ 131072     		x = 0.515655517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67596 ÷ 217
    67596 ÷ 131072     		y = 0.515716552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515655517578125 × 2 - 1) × π
    0.03131103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09836652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.515716552734375 × 2 - 1) × π
    -0.03143310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0987500132173157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09836652} λ = 0.09836652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0987500132173157))-π/2
    2×atan(0.905969160032892)-π/2
    2×0.736103208972432-π/2
    1.47220641794486-1.57079632675     		φ = -0.09858991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09836652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.635986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09858991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.648786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67588 KachelY 67596 0.09836652 -0.09858991 5.635986 -5.648786
    Oben rechts KachelX + 1 67589 KachelY 67596 0.09841445 -0.09858991 5.638733 -5.648786
    Unten links KachelX 67588 KachelY + 1 67597 0.09836652 -0.09863761 5.635986 -5.651519
    Unten rechts KachelX + 1 67589 KachelY + 1 67597 0.09841445 -0.09863761 5.638733 -5.651519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09858991--0.09863761) × R
    4.76999999999977e-05 × 6371000     		dl = 303.896699999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09858991--0.09863761) × R
    4.76999999999977e-05 × 6371000     		dr = 303.896699999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09836652-0.09841445) × cos(-0.09858991) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.995143950123857 × 6371000     		do = 303.87917675205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09836652-0.09841445) × cos(-0.09863761) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.995139253867743 × 6371000     		du = 303.877742693749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09858991)-sin(-0.09863761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995143950123857-0.995139253867743)×R²
    abs(0.09841445-0.09836652)×4.69625611387858e-06×R²
    4.79300000000016e-05×4.69625611387858e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×4.69625611387858e-06×40589641000000     		ar = 92347.6611283797m²