Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67591 / 67591
↖ ↑ ↗
← S  5.635120°
E  5.644226°		 ← 303.95 m → S  5.635120°
E  5.646973°		 →
↑
303.90 m
↓
↑
303.90 m
↓
S  5.637853°
E  5.644226°		 ← 303.95 m →
92 369 m²		 S  5.637853°
E  5.646973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515682220458984 y=0.515682220458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515682220458984 × 217)
    floor (0.515682220458984 × 131072)
    floor (67591.5)     		tx = 67591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.515682220458984 × 217)
    floor (0.515682220458984 × 131072)
    floor (67591.5)     		ty = 67591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67591 / 67591 ti = "17/67591/67591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67591/67591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67591 ÷ 217
    67591 ÷ 131072     		x = 0.515678405761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67591 ÷ 217
    67591 ÷ 131072     		y = 0.515678405761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515678405761719 × 2 - 1) × π
    0.0313568115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09851033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.515678405761719 × 2 - 1) × π
    -0.0313568115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0985103287192154
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09851033} λ = 0.09851033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0985103287192154))-π/2
    2×atan(0.906186332821745)-π/2
    2×0.736222470667244-π/2
    1.47244494133449-1.57079632675     		φ = -0.09835139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09851033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.644226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09835139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.635120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67591 KachelY 67591 0.09851033 -0.09835139 5.644226 -5.635120
    Oben rechts KachelX + 1 67592 KachelY 67591 0.09855827 -0.09835139 5.646973 -5.635120
    Unten links KachelX 67591 KachelY + 1 67592 0.09851033 -0.09839909 5.644226 -5.637853
    Unten rechts KachelX + 1 67592 KachelY + 1 67592 0.09855827 -0.09839909 5.646973 -5.637853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09835139--0.09839909) × R
    4.76999999999977e-05 × 6371000     		dl = 303.896699999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09835139--0.09839909) × R
    4.76999999999977e-05 × 6371000     		dr = 303.896699999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09851033-0.09855827) × cos(-0.09835139) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.995167399404456 × 6371000     		do = 303.949739387046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09851033-0.09855827) × cos(-0.09839909) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.995162714470603 × 6371000     		du = 303.948308487657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09835139)-sin(-0.09839909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995167399404456-0.995162714470603)×R²
    abs(0.09855827-0.09851033)×4.68493385252788e-06×R²
    4.79400000000102e-05×4.68493385252788e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×4.68493385252788e-06×40589641000000     		ar = 92369.1053602901m²