Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67592 / 67576
↖ ↑ ↗
← S  5.594118°
E  5.646973°		 ← 303.91 m → S  5.594118°
E  5.649719°		 →
↑
303.96 m
↓
↑
303.96 m
↓
S  5.596852°
E  5.646973°		 ← 303.91 m →
92 376 m²		 S  5.596852°
E  5.649719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515689849853516 y=0.515567779541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515689849853516 × 217)
    floor (0.515689849853516 × 131072)
    floor (67592.5)     		tx = 67592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.515567779541016 × 217)
    floor (0.515567779541016 × 131072)
    floor (67576.5)     		ty = 67576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67592 / 67576 ti = "17/67592/67576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67592/67576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67592 ÷ 217
    67592 ÷ 131072     		x = 0.51568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67576 ÷ 217
    67576 ÷ 131072     		y = 0.51556396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51568603515625 × 2 - 1) × π
    0.0313720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09855827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51556396484375 × 2 - 1) × π
    -0.0311279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0977912752249146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09855827} λ = 0.09855827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0977912752249146))-π/2
    2×atan(0.90683816359336)-π/2
    2×0.736580272566169-π/2
    1.47316054513234-1.57079632675     		φ = -0.09763578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09855827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09763578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.594118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67592 KachelY 67576 0.09855827 -0.09763578 5.646973 -5.594118
    Oben rechts KachelX + 1 67593 KachelY 67576 0.09860620 -0.09763578 5.649719 -5.594118
    Unten links KachelX 67592 KachelY + 1 67577 0.09855827 -0.09768349 5.646973 -5.596852
    Unten rechts KachelX + 1 67593 KachelY + 1 67577 0.09860620 -0.09768349 5.649719 -5.596852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09763578--0.09768349) × R
    4.77099999999925e-05 × 6371000     		dl = 303.960409999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09763578--0.09768349) × R
    4.77099999999925e-05 × 6371000     		dr = 303.960409999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09855827-0.09860620) × cos(-0.09763578) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99523741241384 × 6371000     		do = 303.907716586647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09855827-0.09860620) × cos(-0.09768349) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99523276047546 × 6371000     		du = 303.9062960613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09763578)-sin(-0.09768349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99523741241384-0.99523276047546)×R²
    abs(0.09860620-0.09855827)×4.65193837972944e-06×R²
    4.79300000000016e-05×4.65193837972944e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×4.65193837972944e-06×40589641000000     		ar = 92375.6982616086m²