Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67592 / 71688
↖ ↑ ↗
← S 16.657244°
E  5.646973°		 ← 292.55 m → S 16.657244°
E  5.649719°		 →
↑
292.56 m
↓
↑
292.56 m
↓
S 16.659875°
E  5.646973°		 ← 292.54 m →
85 586 m²		 S 16.659875°
E  5.649719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515689849853516 y=0.546939849853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515689849853516 × 217)
    floor (0.515689849853516 × 131072)
    floor (67592.5)     		tx = 67592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546939849853516 × 217)
    floor (0.546939849853516 × 131072)
    floor (71688.5)     		ty = 71688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67592 / 71688 ti = "17/67592/71688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67592/71688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67592 ÷ 217
    67592 ÷ 131072     		x = 0.51568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71688 ÷ 217
    71688 ÷ 131072     		y = 0.54693603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51568603515625 × 2 - 1) × π
    0.0313720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09855827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.54693603515625 × 2 - 1) × π
    -0.0938720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.294907806462585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09855827} λ = 0.09855827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.294907806462585))-π/2
    2×atan(0.7446002316309)-π/2
    2×0.640036290442262-π/2
    1.28007258088452-1.57079632675     		φ = -0.29072375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09855827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29072375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.657244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67592 KachelY 71688 0.09855827 -0.29072375 5.646973 -16.657244
    Oben rechts KachelX + 1 67593 KachelY 71688 0.09860620 -0.29072375 5.649719 -16.657244
    Unten links KachelX 67592 KachelY + 1 71689 0.09855827 -0.29076967 5.646973 -16.659875
    Unten rechts KachelX + 1 67593 KachelY + 1 71689 0.09860620 -0.29076967 5.649719 -16.659875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29072375--0.29076967) × R
    4.59199999999771e-05 × 6371000     		dl = 292.556319999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29072375--0.29076967) × R
    4.59199999999771e-05 × 6371000     		dr = 292.556319999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09855827-0.09860620) × cos(-0.29072375) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.958036666637048 × 6371000     		do = 292.548021338732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09855827-0.09860620) × cos(-0.29076967) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.958023502857385 × 6371000     		du = 292.544001620252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29072375)-sin(-0.29076967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958036666637048-0.958023502857385)×R²
    abs(0.09860620-0.09855827)×1.31637796625395e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.31637796625395e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.31637796625395e-05×40589641000000     		ar = 85586.1845641114m²