Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67600 / 67568
↖ ↑ ↗
← S  5.572250°
E  5.668945°		 ← 303.98 m → S  5.572250°
E  5.671692°		 →
↑
303.96 m
↓
↑
303.96 m
↓
S  5.574984°
E  5.668945°		 ← 303.98 m →
92 398 m²		 S  5.574984°
E  5.671692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515750885009766 y=0.515506744384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515750885009766 × 217)
    floor (0.515750885009766 × 131072)
    floor (67600.5)     		tx = 67600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.515506744384766 × 217)
    floor (0.515506744384766 × 131072)
    floor (67568.5)     		ty = 67568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67600 / 67568 ti = "17/67600/67568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67600/67568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67600 ÷ 217
    67600 ÷ 131072     		x = 0.5157470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67568 ÷ 217
    67568 ÷ 131072     		y = 0.5155029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5157470703125 × 2 - 1) × π
    0.031494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09894176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5155029296875 × 2 - 1) × π
    -0.031005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0974077800279541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09894176} λ = 0.09894176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0974077800279541))-π/2
    2×atan(0.907185998365738)-π/2
    2×0.736771110512315-π/2
    1.47354222102463-1.57079632675     		φ = -0.09725411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09894176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.668945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09725411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.572250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67600 KachelY 67568 0.09894176 -0.09725411 5.668945 -5.572250
    Oben rechts KachelX + 1 67601 KachelY 67568 0.09898970 -0.09725411 5.671692 -5.572250
    Unten links KachelX 67600 KachelY + 1 67569 0.09894176 -0.09730182 5.668945 -5.574984
    Unten rechts KachelX + 1 67601 KachelY + 1 67569 0.09898970 -0.09730182 5.671692 -5.574984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09725411--0.09730182) × R
    4.77099999999925e-05 × 6371000     		dl = 303.960409999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09725411--0.09730182) × R
    4.77099999999925e-05 × 6371000     		dr = 303.960409999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09894176-0.09898970) × cos(-0.09725411) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995274545394462 × 6371000     		do = 303.982464530244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09894176-0.09898970) × cos(-0.09730182) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99526991157913 × 6371000     		du = 303.981049243767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09725411)-sin(-0.09730182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995274545394462-0.99526991157913)×R²
    abs(0.09898970-0.09894176)×4.63381533211127e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.63381533211127e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.63381533211127e-06×40589641000000     		ar = 92398.419473395m²