Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 677 / 163
↖ ↑ ↗
← N 76.598545°
E 58.007813°		 ← 9 060.44 m → N 76.598545°
E 58.359375°		 →
↑
9 087.53 m
↓
↑
9 087.53 m
↓
N 76.516819°
E 58.007813°		 ← 9 114.68 m →
82 583 483 m²		 N 76.516819°
E 58.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.66162109375 y=0.15966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.66162109375 × 210)
    floor (0.66162109375 × 1024)
    floor (677.5)     		tx = 677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15966796875 × 210)
    floor (0.15966796875 × 1024)
    floor (163.5)     		ty = 163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 677 / 163 ti = "10/677/163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/677/163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 677 ÷ 210
    677 ÷ 1024     		x = 0.6611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 163 ÷ 210
    163 ÷ 1024     		y = 0.1591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6611328125 × 2 - 1) × π
    0.322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.01242732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1591796875 × 2 - 1) × π
    0.681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14143717982715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.01242732} λ = 1.01242732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14143717982715))-π/2
    2×atan(8.51166163112914)-π/2
    2×1.4538465702352-π/2
    2.9076931404704-1.57079632675     		φ = 1.33689681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.01242732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 58.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33689681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.598545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 677 KachelY 163 1.01242732 1.33689681 58.007813 76.598545
    Oben rechts KachelX + 1 678 KachelY 163 1.01856324 1.33689681 58.359375 76.598545
    Unten links KachelX 677 KachelY + 1 164 1.01242732 1.33547042 58.007813 76.516819
    Unten rechts KachelX + 1 678 KachelY + 1 164 1.01856324 1.33547042 58.359375 76.516819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33689681-1.33547042) × R
    0.00142639 × 6371000     		dl = 9087.53069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33689681-1.33547042) × R
    0.00142639 × 6371000     		dr = 9087.53069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.01242732-1.01856324) × cos(1.33689681) × R
    0.00613591999999996 × 0.231772609035297 × 6371000     		do = 9060.44239085413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.01242732-1.01856324) × cos(1.33547042) × R
    0.00613591999999996 × 0.233159922173044 × 6371000     		du = 9114.67516156396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33689681)-sin(1.33547042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231772609035297-0.233159922173044)×R²
    abs(1.01856324-1.01242732)×0.00138731313774679×R²
    0.00613591999999996×0.00138731313774679×6371000²
    0.00613591999999996×0.00138731313774679×40589641000000     		ar = 82583483.277927m²