Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67714 / 67714
↖ ↑ ↗
← S  5.971217°
E  5.982056°		 ← 303.71 m → S  5.971217°
E  5.984802°		 →
↑
303.71 m
↓
↑
303.71 m
↓
S  5.973948°
E  5.982056°		 ← 303.70 m →
92 237 m²		 S  5.973948°
E  5.984802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516620635986328 y=0.516620635986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516620635986328 × 217)
    floor (0.516620635986328 × 131072)
    floor (67714.5)     		tx = 67714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516620635986328 × 217)
    floor (0.516620635986328 × 131072)
    floor (67714.5)     		ty = 67714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67714 / 67714 ti = "17/67714/67714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67714/67714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67714 ÷ 217
    67714 ÷ 131072     		x = 0.516616821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67714 ÷ 217
    67714 ÷ 131072     		y = 0.516616821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516616821289062 × 2 - 1) × π
    0.033233642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10440657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.516616821289062 × 2 - 1) × π
    -0.033233642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.104406567372482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10440657} λ = 0.10440657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.104406567372482))-π/2
    2×atan(0.900858963094856)-π/2
    2×0.733289464392282-π/2
    1.46657892878456-1.57079632675     		φ = -0.10421740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10440657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.982056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10421740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.971217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67714 KachelY 67714 0.10440657 -0.10421740 5.982056 -5.971217
    Oben rechts KachelX + 1 67715 KachelY 67714 0.10445450 -0.10421740 5.984802 -5.971217
    Unten links KachelX 67714 KachelY + 1 67715 0.10440657 -0.10426507 5.982056 -5.973948
    Unten rechts KachelX + 1 67715 KachelY + 1 67715 0.10445450 -0.10426507 5.984802 -5.973948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10421740--0.10426507) × R
    4.76699999999997e-05 × 6371000     		dl = 303.705569999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10421740--0.10426507) × R
    4.76699999999997e-05 × 6371000     		dr = 303.705569999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10440657-0.10445450) × cos(-0.10421740) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.994574280285636 × 6371000     		do = 303.705221213821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10440657-0.10445450) × cos(-0.10426507) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.994569320100455 × 6371000     		du = 303.703706561605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10421740)-sin(-0.10426507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994574280285636-0.994569320100455)×R²
    abs(0.10445450-0.10440657)×4.96018518114649e-06×R²
    4.79300000000016e-05×4.96018518114649e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×4.96018518114649e-06×40589641000000     		ar = 92236.7373340369m²