Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 678 / 166
↖ ↑ ↗
← N 76.351896°
E 58.359375°		 ← 9 224.07 m → N 76.351896°
E 58.710938°		 →
↑
9 251.58 m
↓
↑
9 251.58 m
↓
N 76.268695°
E 58.359375°		 ← 9 279.23 m →
85 592 450 m²		 N 76.268695°
E 58.710938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.66259765625 y=0.16259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.66259765625 × 210)
    floor (0.66259765625 × 1024)
    floor (678.5)     		tx = 678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16259765625 × 210)
    floor (0.16259765625 × 1024)
    floor (166.5)     		ty = 166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 678 / 166 ti = "10/678/166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/678/166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 678 ÷ 210
    678 ÷ 1024     		x = 0.662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 166 ÷ 210
    166 ÷ 1024     		y = 0.162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.662109375 × 2 - 1) × π
    0.32421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.01856324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162109375 × 2 - 1) × π
    0.67578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.12302941037305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.01856324} λ = 1.01856324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12302941037305))-π/2
    2×atan(8.35641418943236)-π/2
    2×1.45169415482272-π/2
    2.90338830964543-1.57079632675     		φ = 1.33259198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.01856324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 58.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33259198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.351896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 678 KachelY 166 1.01856324 1.33259198 58.359375 76.351896
    Oben rechts KachelX + 1 679 KachelY 166 1.02469917 1.33259198 58.710938 76.351896
    Unten links KachelX 678 KachelY + 1 167 1.01856324 1.33113984 58.359375 76.268695
    Unten rechts KachelX + 1 679 KachelY + 1 167 1.02469917 1.33113984 58.710938 76.268695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33259198-1.33113984) × R
    0.00145213999999982 × 6371000     		dl = 9251.58393999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33259198-1.33113984) × R
    0.00145213999999982 × 6371000     		dr = 9251.58393999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.01856324-1.02469917) × cos(1.33259198) × R
    0.00613593000000012 × 0.235958057996113 × 6371000     		do = 9224.07476984354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.01856324-1.02469917) × cos(1.33113984) × R
    0.00613593000000012 × 0.237368944988105 × 6371000     		du = 9279.22917828569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33259198)-sin(1.33113984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235958057996113-0.237368944988105)×R²
    abs(1.02469917-1.01856324)×0.00141088699199207×R²
    0.00613593000000012×0.00141088699199207×6371000²
    0.00613593000000012×0.00141088699199207×40589641000000     		ar = 85592449.8625212m²