Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6792 / 10888
↖ ↑ ↗
← S 50.847573°
W 30.761719°		 ← 1 542.65 m → S 50.847573°
W 30.739746°		 →
↑
1 542.42 m
↓
↑
1 542.42 m
↓
S 50.861444°
W 30.761719°		 ← 1 542.19 m →
2 379 061 m²		 S 50.861444°
W 30.739746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414581298828125 y=0.664581298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414581298828125 × 214)
    floor (0.414581298828125 × 16384)
    floor (6792.5)     		tx = 6792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664581298828125 × 214)
    floor (0.664581298828125 × 16384)
    floor (10888.5)     		ty = 10888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6792 / 10888 ti = "14/6792/10888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6792/10888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6792 ÷ 214
    6792 ÷ 16384     		x = 0.41455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10888 ÷ 214
    10888 ÷ 16384     		y = 0.66455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41455078125 × 2 - 1) × π
    -0.1708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53689328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66455078125 × 2 - 1) × π
    -0.3291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03390305100537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53689328} λ = -0.53689328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03390305100537))-π/2
    2×atan(0.355616259945978)-π/2
    2×0.341669381062138-π/2
    0.683338762124276-1.57079632675     		φ = -0.88745756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53689328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.761719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88745756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.847573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6792 KachelY 10888 -0.53689328 -0.88745756 -30.761719 -50.847573
    Oben rechts KachelX + 1 6793 KachelY 10888 -0.53650978 -0.88745756 -30.739746 -50.847573
    Unten links KachelX 6792 KachelY + 1 10889 -0.53689328 -0.88769966 -30.761719 -50.861444
    Unten rechts KachelX + 1 6793 KachelY + 1 10889 -0.53650978 -0.88769966 -30.739746 -50.861444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88745756--0.88769966) × R
    0.000242100000000023 × 6371000     		dl = 1542.41910000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88745756--0.88769966) × R
    0.000242100000000023 × 6371000     		dr = 1542.41910000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53689328--0.53650978) × cos(-0.88745756) × R
    0.000383499999999981 × 0.6313856484801 × 6371000     		do = 1542.65098013991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53689328--0.53650978) × cos(-0.88769966) × R
    0.000383499999999981 × 0.63119788893462 × 6371000     		du = 1542.19223127927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88745756)-sin(-0.88769966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6313856484801-0.63119788893462)×R²
    abs(-0.53650978--0.53689328)×0.000187759545479893×R²
    0.000383499999999981×0.000187759545479893×6371000²
    0.000383499999999981×0.000187759545479893×40589641000000     		ar = 2379060.55651925m²