Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 680 / 104
↖ ↑ ↗
← N 80.647035°
E 59.062500°		 ← 6 353.07 m → N 80.647035°
E 59.414062°		 →
↑
6 372.34 m
↓
↑
6 372.34 m
↓
N 80.589727°
E 59.062500°		 ← 6 391.64 m →
40 606 809 m²		 N 80.589727°
E 59.414062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.66455078125 y=0.10205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.66455078125 × 210)
    floor (0.66455078125 × 1024)
    floor (680.5)     		tx = 680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10205078125 × 210)
    floor (0.10205078125 × 1024)
    floor (104.5)     		ty = 104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 680 / 104 ti = "10/680/104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/680/104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 680 ÷ 210
    680 ÷ 1024     		x = 0.6640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104 ÷ 210
    104 ÷ 1024     		y = 0.1015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6640625 × 2 - 1) × π
    0.328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.03083509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1015625 × 2 - 1) × π
    0.796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50345664575781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03083509} λ = 1.03083509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50345664575781))-π/2
    2×atan(12.2246773913586)-π/2
    2×1.4891763075478-π/2
    2.9783526150956-1.57079632675     		φ = 1.40755629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03083509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40755629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.647035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 680 KachelY 104 1.03083509 1.40755629 59.062500 80.647035
    Oben rechts KachelX + 1 681 KachelY 104 1.03697101 1.40755629 59.414062 80.647035
    Unten links KachelX 680 KachelY + 1 105 1.03083509 1.40655608 59.062500 80.589727
    Unten rechts KachelX + 1 681 KachelY + 1 105 1.03697101 1.40655608 59.414062 80.589727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40755629-1.40655608) × R
    0.00100020999999995 × 6371000     		dl = 6372.33790999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40755629-1.40655608) × R
    0.00100020999999995 × 6371000     		dr = 6372.33790999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03083509-1.03697101) × cos(1.40755629) × R
    0.00613591999999996 × 0.162516017493157 × 6371000     		do = 6353.06743198264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03083509-1.03697101) × cos(1.40655608) × R
    0.00613591999999996 × 0.163502849150264 × 6371000     		du = 6391.64460214915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40755629)-sin(1.40655608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162516017493157-0.163502849150264)×R²
    abs(1.03697101-1.03083509)×0.00098683165710714×R²
    0.00613591999999996×0.00098683165710714×6371000²
    0.00613591999999996×0.00098683165710714×40589641000000     		ar = 40606809.208894m²