Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 681 / 169
↖ ↑ ↗
← N 76.100796°
E 59.414062°		 ← 9 390.47 m → N 76.100796°
E 59.765625°		 →
↑
9 418.44 m
↓
↑
9 418.44 m
↓
N 76.016094°
E 59.414062°		 ← 9 446.56 m →
88 707 731 m²		 N 76.016094°
E 59.765625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.66552734375 y=0.16552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.66552734375 × 210)
    floor (0.66552734375 × 1024)
    floor (681.5)     		tx = 681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16552734375 × 210)
    floor (0.16552734375 × 1024)
    floor (169.5)     		ty = 169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 681 / 169 ti = "10/681/169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/681/169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 681 ÷ 210
    681 ÷ 1024     		x = 0.6650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 169 ÷ 210
    169 ÷ 1024     		y = 0.1650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6650390625 × 2 - 1) × π
    0.330078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.03697101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1650390625 × 2 - 1) × π
    0.669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10462164091895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03697101} λ = 1.03697101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10462164091895))-π/2
    2×atan(8.20399836501525)-π/2
    2×1.44950289077394-π/2
    2.89900578154787-1.57079632675     		φ = 1.32820945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03697101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.414062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32820945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.100796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 681 KachelY 169 1.03697101 1.32820945 59.414062 76.100796
    Oben rechts KachelX + 1 682 KachelY 169 1.04310694 1.32820945 59.765625 76.100796
    Unten links KachelX 681 KachelY + 1 170 1.03697101 1.32673112 59.414062 76.016094
    Unten rechts KachelX + 1 682 KachelY + 1 170 1.04310694 1.32673112 59.765625 76.016094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32820945-1.32673112) × R
    0.00147832999999986 × 6371000     		dl = 9418.44042999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32820945-1.32673112) × R
    0.00147832999999986 × 6371000     		dr = 9418.44042999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03697101-1.04310694) × cos(1.32820945) × R
    0.0061359299999999 × 0.240214559947368 × 6371000     		do = 9390.4699868144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03697101-1.04310694) × cos(1.32673112) × R
    0.0061359299999999 × 0.241649341163748 × 6371000     		du = 9446.55846851597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32820945)-sin(1.32673112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240214559947368-0.241649341163748)×R²
    abs(1.04310694-1.03697101)×0.00143478121637977×R²
    0.0061359299999999×0.00143478121637977×6371000²
    0.0061359299999999×0.00143478121637977×40589641000000     		ar = 88707731.347961m²