Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68352 / 68352
↖ ↑ ↗
← S  7.710991°
E  7.734375°		 ← 302.66 m → S  7.710991°
E  7.737122°		 →
↑
302.69 m
↓
↑
302.69 m
↓
S  7.713714°
E  7.734375°		 ← 302.66 m →
91 612 m²		 S  7.713714°
E  7.737122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521488189697266 y=0.521488189697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521488189697266 × 217)
    floor (0.521488189697266 × 131072)
    floor (68352.5)     		tx = 68352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521488189697266 × 217)
    floor (0.521488189697266 × 131072)
    floor (68352.5)     		ty = 68352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68352 / 68352 ti = "17/68352/68352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68352/68352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68352 ÷ 217
    68352 ÷ 131072     		x = 0.521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68352 ÷ 217
    68352 ÷ 131072     		y = 0.521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521484375 × 2 - 1) × π
    0.04296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13499031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521484375 × 2 - 1) × π
    -0.04296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.134990309330078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13499031} λ = 0.13499031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.134990309330078))-π/2
    2×atan(0.873724378621565)-π/2
    2×0.718107066908801-π/2
    1.4362141338176-1.57079632675     		φ = -0.13458219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13499031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13458219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.710991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68352 KachelY 68352 0.13499031 -0.13458219 7.734375 -7.710991
    Oben rechts KachelX + 1 68353 KachelY 68352 0.13503825 -0.13458219 7.737122 -7.710991
    Unten links KachelX 68352 KachelY + 1 68353 0.13499031 -0.13462970 7.734375 -7.713714
    Unten rechts KachelX + 1 68353 KachelY + 1 68353 0.13503825 -0.13462970 7.737122 -7.713714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13458219--0.13462970) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dl = 302.686210000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13458219--0.13462970) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dr = 302.686210000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13499031-0.13503825) × cos(-0.13458219) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990957477892313 × 6371000     		do = 302.66392099377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13499031-0.13503825) × cos(-0.13462970) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990951102058345 × 6371000     		du = 302.661973649962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13458219)-sin(-0.13462970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990957477892313-0.990951102058345)×R²
    abs(0.13503825-0.13499031)×6.37583396756458e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.37583396756458e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.37583396756458e-06×40589641000000     		ar = 91611.9004495228m²