Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6848 / 10688
↖ ↑ ↗
← S 47.989922°
W 29.531250°		 ← 1 635.15 m → S 47.989922°
W 29.509277°		 →
↑
1 634.93 m
↓
↑
1 634.93 m
↓
S 48.004625°
W 29.531250°		 ← 1 634.68 m →
2 672 967 m²		 S 48.004625°
W 29.509277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417999267578125 y=0.652374267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417999267578125 × 214)
    floor (0.417999267578125 × 16384)
    floor (6848.5)     		tx = 6848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652374267578125 × 214)
    floor (0.652374267578125 × 16384)
    floor (10688.5)     		ty = 10688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6848 / 10688 ti = "14/6848/10688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6848/10688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6848 ÷ 214
    6848 ÷ 16384     		x = 0.41796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10688 ÷ 214
    10688 ÷ 16384     		y = 0.65234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41796875 × 2 - 1) × π
    -0.1640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51541754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65234375 × 2 - 1) × π
    -0.3046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.957204011613281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51541754} λ = -0.51541754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.957204011613281))-π/2
    2×atan(0.383964948075839)-π/2
    2×0.366607092971331-π/2
    0.733214185942662-1.57079632675     		φ = -0.83758214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51541754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83758214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.989922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6848 KachelY 10688 -0.51541754 -0.83758214 -29.531250 -47.989922
    Oben rechts KachelX + 1 6849 KachelY 10688 -0.51503405 -0.83758214 -29.509277 -47.989922
    Unten links KachelX 6848 KachelY + 1 10689 -0.51541754 -0.83783876 -29.531250 -48.004625
    Unten rechts KachelX + 1 6849 KachelY + 1 10689 -0.51503405 -0.83783876 -29.509277 -48.004625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83758214--0.83783876) × R
    0.000256620000000041 × 6371000     		dl = 1634.92602000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83758214--0.83783876) × R
    0.000256620000000041 × 6371000     		dr = 1634.92602000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51541754--0.51503405) × cos(-0.83758214) × R
    0.000383489999999931 × 0.669261315892548 × 6371000     		do = 1635.14914536324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51541754--0.51503405) × cos(-0.83783876) × R
    0.000383489999999931 × 0.669070618240126 × 6371000     		du = 1634.68323003842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83758214)-sin(-0.83783876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669261315892548-0.669070618240126)×R²
    abs(-0.51503405--0.51541754)×0.000190697652422189×R²
    0.000383489999999931×0.000190697652422189×6371000²
    0.000383489999999931×0.000190697652422189×40589641000000     		ar = 2672967.03046055m²