Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68608 / 64511
↖ ↑ ↗
← N  2.814114°
E  8.437500°		 ← 304.99 m → N  2.814114°
E  8.440246°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
N  2.811371°
E  8.437500°		 ← 304.99 m →
93 036 m²		 N  2.811371°
E  8.440246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523441314697266 y=0.492183685302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523441314697266 × 217)
    floor (0.523441314697266 × 131072)
    floor (68608.5)     		tx = 68608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492183685302734 × 217)
    floor (0.492183685302734 × 131072)
    floor (64511.5)     		ty = 64511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68608 / 64511 ti = "17/68608/64511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68608/64511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68608 ÷ 217
    68608 ÷ 131072     		x = 0.5234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64511 ÷ 217
    64511 ÷ 131072     		y = 0.492179870605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5234375 × 2 - 1) × π
    0.046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492179870605469 × 2 - 1) × π
    0.0156402587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0491353221105576
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14726216} λ = 0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0491353221105576))-π/2
    2×atan(1.05036247839073)-π/2
    2×0.809955944880198-π/2
    1.6199118897604-1.57079632675     		φ = 0.04911556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04911556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.814114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68608 KachelY 64511 0.14726216 0.04911556 8.437500 2.814114
    Oben rechts KachelX + 1 68609 KachelY 64511 0.14731009 0.04911556 8.440246 2.814114
    Unten links KachelX 68608 KachelY + 1 64512 0.14726216 0.04906768 8.437500 2.811371
    Unten rechts KachelX + 1 68609 KachelY + 1 64512 0.14731009 0.04906768 8.440246 2.811371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04911556-0.04906768) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04911556-0.04906768) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14726216-0.14731009) × cos(0.04911556) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998794073337436 × 6371000     		do = 304.993785786298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14726216-0.14731009) × cos(0.04906768) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.9987964229002 × 6371000     		du = 304.994503253554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04911556)-sin(0.04906768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998794073337436-0.9987964229002)×R²
    abs(0.14731009-0.14726216)×2.34956276401466e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.34956276401466e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34956276401466e-06×40589641000000     		ar = 93036.4752417589m²