Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68608 / 64512
↖ ↑ ↗
← N  2.811371°
E  8.437500°		 ← 304.99 m → N  2.811371°
E  8.440246°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
N  2.808628°
E  8.437500°		 ← 305 m →
93 037 m²		 N  2.808628°
E  8.440246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523441314697266 y=0.492191314697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523441314697266 × 217)
    floor (0.523441314697266 × 131072)
    floor (68608.5)     		tx = 68608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492191314697266 × 217)
    floor (0.492191314697266 × 131072)
    floor (64512.5)     		ty = 64512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68608 / 64512 ti = "17/68608/64512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68608/64512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68608 ÷ 217
    68608 ÷ 131072     		x = 0.5234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64512 ÷ 217
    64512 ÷ 131072     		y = 0.4921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5234375 × 2 - 1) × π
    0.046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4921875 × 2 - 1) × π
    0.015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0490873852109375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14726216} λ = 0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0490873852109375))-π/2
    2×atan(1.05031212847686)-π/2
    2×0.809932005306423-π/2
    1.61986401061285-1.57079632675     		φ = 0.04906768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04906768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.811371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68608 KachelY 64512 0.14726216 0.04906768 8.437500 2.811371
    Oben rechts KachelX + 1 68609 KachelY 64512 0.14731009 0.04906768 8.440246 2.811371
    Unten links KachelX 68608 KachelY + 1 64513 0.14726216 0.04901980 8.437500 2.808628
    Unten rechts KachelX + 1 68609 KachelY + 1 64513 0.14731009 0.04901980 8.440246 2.808628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04906768-0.04901980) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04906768-0.04901980) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14726216-0.14731009) × cos(0.04906768) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.9987964229002 × 6371000     		do = 304.994503253554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14726216-0.14731009) × cos(0.04901980) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998798770173229 × 6371000     		du = 304.995220021611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04906768)-sin(0.04901980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9987964229002-0.998798770173229)×R²
    abs(0.14731009-0.14726216)×2.34727302872439e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.34727302872439e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34727302872439e-06×40589641000000     		ar = 93036.6939938263m²