Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 687 / 175
↖ ↑ ↗
← N 75.584937°
E 61.523437°		 ← 9 731.73 m → N 75.584937°
E 61.875000°		 →
↑
9 760.69 m
↓
↑
9 760.69 m
↓
N 75.497157°
E 61.523437°		 ← 9 789.72 m →
95 271 411 m²		 N 75.497157°
E 61.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.67138671875 y=0.17138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.67138671875 × 210)
    floor (0.67138671875 × 1024)
    floor (687.5)     		tx = 687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17138671875 × 210)
    floor (0.17138671875 × 1024)
    floor (175.5)     		ty = 175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 687 / 175 ti = "10/687/175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/687/175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 687 ÷ 210
    687 ÷ 1024     		x = 0.6708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 175 ÷ 210
    175 ÷ 1024     		y = 0.1708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6708984375 × 2 - 1) × π
    0.341796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.07378655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1708984375 × 2 - 1) × π
    0.658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.06780610201074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.07378655} λ = 1.07378655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06780610201074))-π/2
    2×atan(7.90745592223974)-π/2
    2×1.44500117473785-π/2
    2.89000234947569-1.57079632675     		φ = 1.31920602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.07378655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 61.523437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31920602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.584937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 687 KachelY 175 1.07378655 1.31920602 61.523437 75.584937
    Oben rechts KachelX + 1 688 KachelY 175 1.07992247 1.31920602 61.875000 75.584937
    Unten links KachelX 687 KachelY + 1 176 1.07378655 1.31767397 61.523437 75.497157
    Unten rechts KachelX + 1 688 KachelY + 1 176 1.07992247 1.31767397 61.875000 75.497157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31920602-1.31767397) × R
    0.00153205000000001 × 6371000     		dl = 9760.69055000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31920602-1.31767397) × R
    0.00153205000000001 × 6371000     		dr = 9760.69055000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.07378655-1.07992247) × cos(1.31920602) × R
    0.00613592000000018 × 0.248944513761329 × 6371000     		do = 9731.72556861666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.07378655-1.07992247) × cos(1.31767397) × R
    0.00613592000000018 × 0.250428038638996 × 6371000     		du = 9789.7194434988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31920602)-sin(1.31767397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.248944513761329-0.250428038638996)×R²
    abs(1.07992247-1.07378655)×0.00148352487766687×R²
    0.00613592000000018×0.00148352487766687×6371000²
    0.00613592000000018×0.00148352487766687×40589641000000     		ar = 95271410.560951m²