Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 688 / 880
↖ ↑ ↗
← S 78.061989°
E 61.875000°		 ← 8 086.31 m → S 78.061989°
E 62.226563°		 →
↑
8 062.12 m
↓
↑
8 062.12 m
↓
S 78.134493°
E 61.875000°		 ← 8 037.91 m →
64 997 682 m²		 S 78.134493°
E 62.226563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.67236328125 y=0.85986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.67236328125 × 210)
    floor (0.67236328125 × 1024)
    floor (688.5)     		tx = 688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.85986328125 × 210)
    floor (0.85986328125 × 1024)
    floor (880.5)     		ty = 880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 688 / 880 ti = "10/688/880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/688/880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 688 ÷ 210
    688 ÷ 1024     		x = 0.671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 880 ÷ 210
    880 ÷ 1024     		y = 0.859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.671875 × 2 - 1) × π
    0.34375 × 3.1415926535     		Λ = 1.07992247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.859375 × 2 - 1) × π
    -0.71875 × 3.1415926535     		Φ = -2.25801971970313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.07992247} λ = 1.07992247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.25801971970313))-π/2
    2×atan(0.104557332704558)-π/2
    2×0.104178797422412-π/2
    0.208357594844824-1.57079632675     		φ = -1.36243873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.07992247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 61.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.36243873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -78.061989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 688 KachelY 880 1.07992247 -1.36243873 61.875000 -78.061989
    Oben rechts KachelX + 1 689 KachelY 880 1.08605840 -1.36243873 62.226563 -78.061989
    Unten links KachelX 688 KachelY + 1 881 1.07992247 -1.36370417 61.875000 -78.134493
    Unten rechts KachelX + 1 689 KachelY + 1 881 1.08605840 -1.36370417 62.226563 -78.134493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.36243873--1.36370417) × R
    0.00126544000000006 × 6371000     		dl = 8062.1182400004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.36243873--1.36370417) × R
    0.00126544000000006 × 6371000     		dr = 8062.1182400004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.07992247-1.08605840) × cos(-1.36243873) × R
    0.0061359299999999 × 0.206853298300232 × 6371000     		do = 8086.31121189113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.07992247-1.08605840) × cos(-1.36370417) × R
    0.0061359299999999 × 0.205615061983061 × 6371000     		du = 8037.90606536075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.36243873)-sin(-1.36370417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206853298300232-0.205615061983061)×R²
    abs(1.08605840-1.07992247)×0.00123823631717168×R²
    0.0061359299999999×0.00123823631717168×6371000²
    0.0061359299999999×0.00123823631717168×40589641000000     		ar = 64997681.7819546m²