Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 688 / 944
↖ ↑ ↗
← S 81.923187°
E 61.875000°		 ← 5 492.45 m → S 81.923187°
E 62.226563°		 →
↑
5 475.75 m
↓
↑
5 475.75 m
↓
S 81.972431°
E 61.875000°		 ← 5 459.18 m →
29 984 186 m²		 S 81.972431°
E 62.226563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.67236328125 y=0.92236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.67236328125 × 210)
    floor (0.67236328125 × 1024)
    floor (688.5)     		tx = 688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.92236328125 × 210)
    floor (0.92236328125 × 1024)
    floor (944.5)     		ty = 944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 688 / 944 ti = "10/688/944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/688/944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 688 ÷ 210
    688 ÷ 1024     		x = 0.671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 944 ÷ 210
    944 ÷ 1024     		y = 0.921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.671875 × 2 - 1) × π
    0.34375 × 3.1415926535     		Λ = 1.07992247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.921875 × 2 - 1) × π
    -0.84375 × 3.1415926535     		Φ = -2.65071880139062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.07992247} λ = 1.07992247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.65071880139062))-π/2
    2×atan(0.0706004471177333)-π/2
    2×0.0704834958458305-π/2
    0.140966991691661-1.57079632675     		φ = -1.42982934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.07992247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 61.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42982934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.923187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 688 KachelY 944 1.07992247 -1.42982934 61.875000 -81.923187
    Oben rechts KachelX + 1 689 KachelY 944 1.08605840 -1.42982934 62.226563 -81.923187
    Unten links KachelX 688 KachelY + 1 945 1.07992247 -1.43068882 61.875000 -81.972431
    Unten rechts KachelX + 1 689 KachelY + 1 945 1.08605840 -1.43068882 62.226563 -81.972431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42982934--1.43068882) × R
    0.000859480000000135 × 6371000     		dl = 5475.74708000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42982934--1.43068882) × R
    0.000859480000000135 × 6371000     		dr = 5475.74708000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.07992247-1.08605840) × cos(-1.42982934) × R
    0.0061359299999999 × 0.140500575046616 × 6371000     		do = 5492.449888943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.07992247-1.08605840) × cos(-1.43068882) × R
    0.0061359299999999 × 0.13964956878564 × 6371000     		du = 5459.18234365333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42982934)-sin(-1.43068882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.140500575046616-0.13964956878564)×R²
    abs(1.08605840-1.07992247)×0.000851006260976145×R²
    0.0061359299999999×0.000851006260976145×6371000²
    0.0061359299999999×0.000851006260976145×40589641000000     		ar = 29984185.9552168m²