Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 690 / 178
↖ ↑ ↗
← N 75.320025°
E 62.578125°		 ← 9 906.68 m → N 75.320025°
E 62.929687°		 →
↑
9 936.15 m
↓
↑
9 936.15 m
↓
N 75.230667°
E 62.578125°		 ← 9 965.64 m →
98 727 159 m²		 N 75.230667°
E 62.929687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.67431640625 y=0.17431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.67431640625 × 210)
    floor (0.67431640625 × 1024)
    floor (690.5)     		tx = 690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17431640625 × 210)
    floor (0.17431640625 × 1024)
    floor (178.5)     		ty = 178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 690 / 178 ti = "10/690/178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/690/178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 690 ÷ 210
    690 ÷ 1024     		x = 0.673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 178 ÷ 210
    178 ÷ 1024     		y = 0.173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.673828125 × 2 - 1) × π
    0.34765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.09219432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173828125 × 2 - 1) × π
    0.65234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.04939833255664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.09219432} λ = 1.09219432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04939833255664))-π/2
    2×atan(7.76322881883045)-π/2
    2×1.44268937988364-π/2
    2.88537875976729-1.57079632675     		φ = 1.31458243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.09219432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 62.578125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31458243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.320025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 690 KachelY 178 1.09219432 1.31458243 62.578125 75.320025
    Oben rechts KachelX + 1 691 KachelY 178 1.09833024 1.31458243 62.929687 75.320025
    Unten links KachelX 690 KachelY + 1 179 1.09219432 1.31302284 62.578125 75.230667
    Unten rechts KachelX + 1 691 KachelY + 1 179 1.09833024 1.31302284 62.929687 75.230667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31458243-1.31302284) × R
    0.00155959000000006 × 6371000     		dl = 9936.14789000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31458243-1.31302284) × R
    0.00155959000000006 × 6371000     		dr = 9936.14789000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.09219432-1.09833024) × cos(1.31458243) × R
    0.00613591999999996 × 0.25341986587156 × 6371000     		do = 9906.67579307257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.09219432-1.09833024) × cos(1.31302284) × R
    0.00613591999999996 × 0.25492823640204 × 6371000     		du = 9965.64093288076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31458243)-sin(1.31302284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.25341986587156-0.25492823640204)×R²
    abs(1.09833024-1.09219432)×0.00150837053047981×R²
    0.00613591999999996×0.00150837053047981×6371000²
    0.00613591999999996×0.00150837053047981×40589641000000     		ar = 98727158.9643306m²