Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 692 / 116
↖ ↑ ↗
← N 79.935918°
E 63.281250°		 ← 6 831.30 m → N 79.935918°
E 63.632812°		 →
↑
6 851.95 m
↓
↑
6 851.95 m
↓
N 79.874297°
E 63.281250°		 ← 6 872.69 m →
46 949 509 m²		 N 79.874297°
E 63.632812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.67626953125 y=0.11376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.67626953125 × 210)
    floor (0.67626953125 × 1024)
    floor (692.5)     		tx = 692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11376953125 × 210)
    floor (0.11376953125 × 1024)
    floor (116.5)     		ty = 116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 692 / 116 ti = "10/692/116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/692/116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 692 ÷ 210
    692 ÷ 1024     		x = 0.67578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 116 ÷ 210
    116 ÷ 1024     		y = 0.11328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.67578125 × 2 - 1) × π
    0.3515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.10446617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11328125 × 2 - 1) × π
    0.7734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42982556794141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.10446617} λ = 1.10446617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42982556794141))-π/2
    2×atan(11.3569008996126)-π/2
    2×1.48297064539246-π/2
    2.96594129078492-1.57079632675     		φ = 1.39514496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.10446617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 63.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39514496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.935918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 692 KachelY 116 1.10446617 1.39514496 63.281250 79.935918
    Oben rechts KachelX + 1 693 KachelY 116 1.11060209 1.39514496 63.632812 79.935918
    Unten links KachelX 692 KachelY + 1 117 1.10446617 1.39406947 63.281250 79.874297
    Unten rechts KachelX + 1 693 KachelY + 1 117 1.11060209 1.39406947 63.632812 79.874297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39514496-1.39406947) × R
    0.00107549000000007 × 6371000     		dl = 6851.94679000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39514496-1.39406947) × R
    0.00107549000000007 × 6371000     		dr = 6851.94679000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.10446617-1.11060209) × cos(1.39514496) × R
    0.00613591999999996 × 0.174749518782549 × 6371000     		do = 6831.29880769321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.10446617-1.11060209) × cos(1.39406947) × R
    0.00613591999999996 × 0.175808358865107 × 6371000     		du = 6872.69092736203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39514496)-sin(1.39406947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174749518782549-0.175808358865107)×R²
    abs(1.11060209-1.10446617)×0.0010588400825581×R²
    0.00613591999999996×0.0010588400825581×6371000²
    0.00613591999999996×0.0010588400825581×40589641000000     		ar = 46949508.763121m²